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已知等差數列{an}的前n項和Sn能取到最大值,且滿足:a9+3a11<0,a10?a11<0,對于以下幾個結論:
①數列{an}是遞減數列;    
②數列{Sn}是遞減數列;
③數列{Sn}的最大項是S10; 
④數列{Sn}的最小的正數是S19
其中正確的結論的個數是( 。
A、0個B、1個C、2個D、3個
分析:由前n項和Sn有最大值,可得數列{an}為遞減數列,故①正確;設等差數列數列{an}的公差為d,可得2a1+19d<0,可得a10+a11<0,結合a10•a11<0,可得a10>0,a11<0,故③正確;又可得-9d<a1<-
19
2
d.令 Sn>0,且 Sn+1≤0,解不等式組可得19≤n≤19,∴n=19,故④正確;由二次函數的性質可得②錯誤.
解答:解:由前n項和Sn有最大值,可得數列{an}為遞減數列,故①正確;
設等差數列數列{an}的公差為d,則有a9+3a11=4a1+38d<0,
化簡可得2a1+19d<0,可得a1<-
19
2
d,
變形可得(a1+9d)+(a1+10d)=a10+a11<0,
結合a10•a11<0,可得a10>0,a11<0,故③正確;
又可得a10 =a1+9d>0,a11=a1+10d<0,故-9d<a1<-10d.
綜上可得-9d<a1<-
19
2
d.
令 Sn>0,且 Sn+1≤0,可得na1+
n(n-1)
2
d>0,且 (n+1)a1+
n(n+1)
2
d≤0.
化簡可得 a1+
n-1
2
d>0,且a1+
n
2
d≤0.
即 n<-
2a1
d
+1,且 n≥-
2a1
d

再由-9d<a1<-
19
2
d,可得 18<-
2a1
d
<19,
∴19≤n≤19,
∴n=19,故④正確;
由二次函數的性質可得②錯誤
故選:D
點評:本題考查等差數列的性質,涉及二次函數的性質和不等式的性質,屬中檔題.
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