Question

已知各項(xiàng)均為非負(fù)實(shí)數(shù)的數(shù)列{a_n}，{b_n}滿(mǎn)足：對(duì)任意正整數(shù)n，都有a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列，且a₁=0，b₁=1．
（I）求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列；
（II） 設(shè)，當(dāng)n≥2，n∈N時(shí)，試比較與T_n的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知，得2b_n=a_n+a_n+1，，故，所以2b_n=，由此能夠證明{}是等差數(shù)列．
（II）由a₁=0，b₁=1，得a₂=2，b₂=4，a₃=6，b₃=9，由{}是等差數(shù)列，得，由此入手能夠證明＜T_n．
解答：解：（I）∵a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，
∴2b_n=a_n+a_n+1，①
∵b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列，
∴，②
由②得，③
將③代入①，得對(duì)任意n≥2，n∈N^*，
有2b_n=，
即2=+，
∴{}是等差數(shù)列．
（II）∵a₁=0，b₁=1，
∴a₂=2，b₂=4，a₃=6，b₃=9，
又{}是等差數(shù)列，
故，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=n（n-1），
又a₁=0，∴a_n=n（n-1），
∴，（n≥2），
當(dāng)n=2時(shí)，，
當(dāng)n=3時(shí)，，
當(dāng)n≥4時(shí)，=＞，
而，
綜上，＜T_n．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明和不等式的證明，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的靈活運(yùn)用．