Question

已知a,b,c是三個非零向量,試判斷下列命題的真假.

       (1)a·b=|a||b|是a∥b的充要條件；

       (2)|a·b|=|a||b|是a與b共線的充要條件；

       (3)|a|=|b|且|a·c|=|b·c|是a∥b的必要不充分條件；

       (4)|a|=|b|且a·c=b·c是a∥b的充分不必要條件.

      

Answer 1

解析:對這四個命題進行判斷時,其理論依據(jù)是向量的數(shù)量積:a·b=|a||b|cosθ(θ是a,b的夾角)及向量平行的充要條件.?

       (1)∵a·b=|a||b|cosθ,a·b=|a||b|,?

?    ∴cosθ=1.?

       ∴a與b的夾角為0°,即a與b同向.∴a∥b.?

       但反過來,由a∥b可推出a與b同向或反向,?

       而當a與b反向時,a與b的夾角為180°,?

       這時a·b=-|a||b|,它與條件a·b=|a||b|不相等,?

       故命題(1)不成立.?

       (2)∵|a·b|=||a||b|cosθ|=|a||b||cosθ|,?

       又∵|a·b|=|a||b|,∴|cosθ|=1.?

       ∴cosθ=±1.∴θ=0°或180°.?

       ∴a與b同向或反向.    ∴a∥b.?

       而以上幾步均可逆,故命題(2)為真.?

       (3)∵a·c=|a||c|cosα(α是a,c的夾角),b·c=|b||c|cosβ(β是b,c的夾角),?

       又∵|a|=|b|且|a·c|=|b·c|,  ∴|cosα|=|cosβ|.?

       由它推不出α=β,故(3)為假命題.?

       (4)∵a·c=b·c,?

       ∴|a||c|cosα=|b||c|cosβ(其中α是a,c的夾角,β是b,c的夾角).?

       又∵|a|=|b|,∴cosα=cosβ.?

       ∴α=β(∵α,β∈［0°,180°］).?

       ∴a與b同向,故a∥b.?

       但是反過來,由a∥b卻推不出|a|=|b|,故命題為真.