【解析圖片】設二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)滿足f(-1)=0,且對任意實數(shù)x,均有x-1≤f(x)≤x2-3x+3恒成立.
(1)求f(x)的表達式;
(2)若關于x的不等式f(x)≤nx-1的解集非空,求實數(shù)n的取值的集合A.
(3)若關于x的方程f(x)=nx-1的兩根為x1,x2,試問:是否存在實數(shù)m,使得不等式m2+tm+1≤|x1-x2|對任意n∈A及t∈[-3,3]恒成立?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,說明理由.
分析:(1)使用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,關鍵是根據(jù)已知條件構造方程組.
(2)當f(x)的二次系數(shù)a>0時,f(x)≤0的解集非空?△≥0
(3)可將其轉化為求的關于m的不等式組.
解答:解:(1)由x-1=x2-3x+3可得x=2,
故由題可知1≤f(2)≤1,
從而f(2)=1.
因此
a-b+c=0
4a+2b+c=1

故b=
1
3
-a,c=
1
3
-2a.由x-1≤f(x)
得ax2-(
2
3
+a)x+
4
3
-2a≥0對x∈R恒成立,
故△=(
2
3
+a)2-4a(
4
3
-2a)≤0,
即9a2-4a+
4
9
≤0,
解得a=
2
9
,
故f(x)=
2
9
x2+
x
9
-
1
9

(2)由
2
9
x2+
x
9
-
1
9
≤nx-1
得2x2+(1-9n)x+8≤0,
故△=(1-9n)2-64≥0,
解得n≤-
7
9
或n≥1,從而A=(-∞,-]
7
9
∪[1,+∞)
(3)顯然|x1-x2|≥0,當且僅當n=-
7
9
或n=1時取得等號,
故m2+tm+1≤0對t∈[-3,3]恒成立.記g(t)=m•t+(m2+1),
則有
g(-3)=m2-3m+1≤0
g(3)=m2+3m+1≤0
,
3-
5
2
≤m≤
3+
5
2
-3-
5
2
≤ m≤
-3+
5
2

故m∈∅,不存在這樣的實數(shù)m
點評:解一元二次不等式ax2+bx+c>0 或ax2+bx+c<0,反映在數(shù)量關系上就是考查二次方程ax2+bx+c=0的根,反映在圖形上就是考查二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的關系.因此要熟練掌握“三個二次”之間的相互轉換,善于用轉化思想分析解決問題.
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(1)求f(x)的表達式;
(2)若關于x的不等式f(x)≤nx-1的解集非空,求實數(shù)n的取值的集合A.
(3)若關于x的方程f(x)=nx-1的兩根為x1,x2,試問:是否存在實數(shù)m,使得不等式m2+tm+1≤|x1-x2|對任意n∈A及t∈[-3,3]恒成立?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,說明理由.

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