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如圖，已知是底面為正方形的長方體，

，，點是上的動點．

（1）試判斷不論點在上的任何位置，是否都有平面[來源:學,科,網]

垂直于平面？并證明你的結論；

（2）當為的中點時，求異面直線與所成角的余弦值；

（3）求與平面所成角的正切值的最大值．

 

【答案】

（1）不論點在上的任何位置，都有平面垂直于平面.

證明如下：由題意知，，   又 

  平面  又平面   平面平面．

（2）解法一：過點P作，垂足為，連結（如圖），則，

是異面直線與所成的角．

在中 ∵   ∴

∴,   ，      

 ．  又．

在中，   ．

異面異面直線與所成角的余弦值為．

解法二：以為原點，所在的直線為x軸建立空間直角坐標系如圖示，則，，，，，

∴．

∴異面異面直線與所成角的余弦值為．

 

（3）由（1）知，平面，是與平面所成的角，

且．

當最小時，最大，這時，由

得，即與平面所成角的正切值的最大值．

【解析】略         

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，給出下列結論：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直線BC∥平面PAE；④∠PDA=45°；⑤直線PD與平面PAB所成角的余弦值為
10
4
．其中正確的有
①④⑤
①④⑤
（把所有正確的序號都填上）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•肇慶二模）如圖，ABCDEF-A1B1C1D1E1F1是底面半徑為1的圓柱的內接正六棱柱（底面是正六邊形，側棱垂直于底面），過FB作圓柱的截面交下底面于C1E1，已知FC1=
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．
（1）證明：四邊形BFE1C1是平行四邊形；
（2）證明：FB⊥CB1；
（3）求三棱錐A-A1BF的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知是正三棱柱（底面為正三角形，側棱垂直于底面），它的底面邊長和側棱長都是．為側棱的中點，為底面一邊的中點．

  （1）求異面直線與所成的角；

  （2）求證：；

（3）求直線到平面的距離．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，ABCDEF-A1B1C1D1E1F1是底面半徑為1的圓柱的內接正六棱柱（底面是正六邊形，側棱垂直于底面），過FB作圓柱的截面交下底面于C1E1，已知數學公式．
（1）證明：四邊形BFE1C1是平行四邊形；
（2）證明：FB⊥CB1；
（3）求三棱錐A-A1BF的體積．

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科目：高中數學 來源：2012年廣東省肇慶市高考數學二模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，ABCDEF-A1B1C1D1E1F1是底面半徑為1的圓柱的內接正六棱柱（底面是正六邊形，側棱垂直于底面），過FB作圓柱的截面交下底面于C1E1，已知．
（1）證明：四邊形BFE1C1是平行四邊形；
（2）證明：FB⊥CB1；
（3）求三棱錐A-A1BF的體積．

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