Question

（2013•浙江二模）已知點(diǎn)M到定點(diǎn)F（1，0）的距離和它到定直線l：x=4的距離的比是常數(shù)

1

2

，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的軌跡方程；
（Ⅱ）已知曲線C與x軸的兩交點(diǎn)為A、B，P是曲線C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，直線AP與曲線C在點(diǎn)B處的切線交于點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M（x，y），利用條件可得等式，化簡，可得曲線C的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，確定P的坐標(biāo)，求出PF的方程，驗(yàn)證圓心到直線的距離，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M（x，y），則據(jù)題意有

(x-1)2+y2

|x-4|

=

1

2

則4[（x-1）²+y²]=（x-4）²，
即3x²+4y²=12，∴

x2

4

+

y2

3

=1
故曲線C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，…（5分）
（Ⅱ）如圖由曲線C方程知A（-2，0），B（2，0），在點(diǎn)B處的切線方程為x=2．
以BD為直徑的圓與直線PF相切．
證明如下：由題意可設(shè)直線AP的方程為y=k（x+2）（k≠0）．
則點(diǎn)D坐標(biāo)為（2，4k），BD中點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，2k）．
直線方程代入橢圓方程，可得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則-2x₀=

16k2-12

3+4k2

．
所以x₀=

6-8k2

3+4k2

，y₀=

12k

3+4k2

．    …（7分）
因?yàn)辄c(diǎn)F坐標(biāo)為（1，0），
當(dāng)k=±

1

2

時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，±

3

2

），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，±2）．
直線PF⊥x軸，此時(shí)以BD為直徑的圓與直線PF相切．
當(dāng)k≠±

1

2

時(shí)，則直線PF的斜率kPF=

y0

x0-1

=

4k

1-4k2

．
所以直線PF的方程為y=

4k

1-4k2

(x-1)．
點(diǎn)E到直線PF的距離d=

| 8k 1-4k2 -2k- 4k 1-4k2 |

16k2 (1-4k2)2 +1

=2|k|．
又因?yàn)閨BD|=2R=4|k|，故以BD為直徑的圓與直線PF相切．
綜上得，當(dāng)直線AP繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，以BD為直徑的圓與直線PF相切．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程，考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．