Question

【題目】已知函數(shù)，．

（）設曲線在處的切線為，到點的距離為，求的值．

（）若對于任意實數(shù)，恒成立，試確定的取值范圍．

（）當時，是否存在實數(shù)，使曲線在點處的切線與軸垂直?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)或(2)(3)不存在

【解析】

試題

(1)該問切點橫坐標已知,則利用切點在曲線上,帶入曲線即可得到切點的縱坐標,對進行求導并得到在切點處的導函數(shù)值即為切線的斜率,有切線的斜率,切線又過切點,利用直線的點斜式即可求的切線的方程,利用點到直線的距離公式結(jié)合條件點到切線的距離為即可求的參數(shù)的值.

(2)該問為恒成立問題可以考慮分離參數(shù)法,即把參數(shù)a與x進行分離得到,則,再利用函數(shù)的導函數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間的最大值,即可求的a的取值范圍.

(3)根據(jù)切線的斜率即為曲線C在切點處的導函數(shù)值,即該問可以轉(zhuǎn)化為是否存在使得,令,則即存在使得,對再次求導進行最值求解可得,所以不存在使得.

試題解析：

（1）,.

在處的切線斜率為，

∴切線的方程為，即. 2分

又點到切線的距離為,所以，

解之得，或4分

（2）因為恒成立，

若恒成立；

若恒成立，即，在上恒成立，

設則

當時，，則在上單調(diào)遞增；

當時，，則在上單調(diào)遞減；

所以當時，取得最大值，，

所以的取值范圍為. 9分

（3）依題意,曲線的方程為,令

所以,

設,則,當,

故在上單調(diào)增函數(shù),因此在上的最小值為

即

又時,

所以

曲線在點處的切線與軸垂直等價于方程有實數(shù)解,但是,沒有實數(shù)解,故不存在實數(shù)使曲線在點處的切線與軸垂直. 14分