已知橢圓中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓短半軸長為半徑的圓與直線相切.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)F是橢圓在y軸正半軸上的一個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)A,B是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足,過點(diǎn)A,B分別作拋物線的兩條切線,設(shè)兩切線的交點(diǎn)為M,試推斷是否為定值?若是,求出這個(gè)定值;若不是,說明理由.
(Ⅰ)(Ⅱ)為定值0.
(Ⅰ)設(shè)橢圓方程為(a>b>0).
因?yàn)?img width=49 height=45 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/91/34091.gif" >,得.又,則.
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是. (5分)
(Ⅱ)由橢圓方程知,c=1,所以焦點(diǎn)F(0,1),設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2).
由,得(-x1,1-y1)=λ(x2,y2-1),所以-x1=λx2,1-y1=λ(y2-1). (7分)
于是.因?yàn)?img width=59 height=25 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/98/34098.gif" >,,則y1=λ2y2.
聯(lián)立y1=λ2y2和1-y1=λ(y2-1),得y1=λ,y2=. (8分)
因?yàn)閽佄锞方程為y=x2,求導(dǎo)得y′=x.設(shè)過拋物線上的點(diǎn)A、B的切線分別為l1,l2,則
直線l1的方程是y=x1(x-x1)+y1,即y=x1x-x12. (9分)
直線l2的方程是y=x2(x-x2)+y2,即y=x2x-x22. (10分)
聯(lián)立l1和l2的方程解得交點(diǎn)M的坐標(biāo)為. (11分)
因?yàn)?i>x1x2=-λx22=-4λy2=-4. 所以點(diǎn)M. (12分)
于是,(x2-x1,y2-y1).
所以==(x22-x12)-2(x22-x12)=0.
故為定值0. (13分)
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