Question

【題目】已知函數(shù)， .

（1）當時，求的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）設(shè)，且有兩個極值，其中，求的最小值.

Answer 1

【答案】(1) ，當時F(x)的單增區(qū)間為（0，+）;當a1時，F(x)的單增區(qū)間為(0, )，();(2) .

【解析】試題分析：

（1）求導得到，再設(shè)為目標函數(shù)進行分類討論；（2）對求導得到是的兩根，所以根據(jù)韋達定理可以將雙元問題轉(zhuǎn)化為單元問題，從而設(shè)新函數(shù)求導即可解決問題。

試題解析：

(1)由題意得F(x)= x－－2alnx. x0, =,

令m（x）=x２－2ax+1，

①當時F(x)在（0，+單調(diào)遞增；

②當a1時，令，得x1= , x2=

x	(0, )	()	()
	+	－	+

∴F(x)的單增區(qū)間為(0, )，()

綜上所述，當時F(x)的單增區(qū)間為（0，+）

當a1時，F(x)的單增區(qū)間為(0, )，()

（2）h(x)= x－2alnx, h/(x)= ,(x>0),由題意知x1,x2是x2+2ax+1=0的兩根，

∴x1x2=1, x1+x2=－2a,x2=,2a=,

－= －=2()

令H(x)=2(), H/(x)=2()lnx=

當時，H/(x)<0, H(x)在上單調(diào)遞減，H(x)的最小值為H()=,

即－ 的最小值為.