Question

已知函數(shù)f(x)=lg(x+

a

x

-2)，其中a是大于0的常數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）當(dāng)a∈（1，4）時(shí)，求函數(shù)f（x）在[2，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析：（1）求函數(shù)f（x）的定義域，就是求x+

a

x

-2＞0的解集，可以通過對a分類討論解解不等式求解；
（2）可以構(gòu)造函數(shù)g（x）=x+

a

x

-2，當(dāng)a∈（1，4）時(shí)通過導(dǎo)數(shù)法研究g（x）在[2，+∞）上的單調(diào)性，再利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)可以求得f（x）在[2，+∞）上的最小值．

解答：解：（1）由x+

a

x

-2＞0得，

x2-2x+a

x

＞0
即

(x-1)2+a-1

x

＞0
∵（x-1）²≥0
∴a＞1時(shí)，定義域?yàn)椋?，+∞）
a=1時(shí)，定義域?yàn)閧x|x＞0且x≠1}，
0＜a＜1時(shí)，定義域?yàn)閧x|0＜x＜1-

1-a

或x＞1+

1-a

}
（2）設(shè)g（x）=x+

a

x

-2，當(dāng)a∈（1，4），x∈[2，+∞）時(shí)，
g'（x）=1-

a

x2

=

x2-a

x2

＞0恒成立，
∴g（x）=x+

a

x

-2在[2，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）=lg（x+

a

x

-2）在[2，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）=lg（x+

a

x

-2）在[2，+∞）上的最小值為f（2）=lg

a

2

點(diǎn)評：此題考查了對數(shù)函數(shù)的定義域以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了分類討論思想．