Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= 為奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）試判斷函數(shù)的單調性并加以證明；
（3）對任意的x∈R，不等式f（x）＜m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由函數(shù)為奇函數(shù)可得f（0）= =0，解得a=﹣1
（2）解：由（1）可得f（x）= = =1﹣ ，

可得函數(shù)在R上單調遞增，下面證明：

任取實數(shù)x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）

= ﹣ = ＜0，

∴函數(shù)f（x）= R上的增函數(shù)

（3）解：∵函數(shù)f（x）為增函數(shù)，當x趨向于正無窮大時，f（x）趨向于1，

要使不等式f（x）＜m恒成立，則需m≥1

【解析】（1）解f（0）=0可得a值；（2）由單調性的定義可得；（3）由（1）（2）可得函數(shù)f（x）為增函數(shù)，當x趨向于正無窮大時，f（x）趨向于1，可得m≥1．
【考點精析】關于本題考查的函數(shù)單調性的判斷方法和函數(shù)奇偶性的性質，需要了解單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；在公共定義域內，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能得出正確答案．