Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣mx（m∈R）．
（1）若曲線y=f（x）過點(diǎn)P（1，﹣1），求曲線y=f（x）在點(diǎn)P的切線方程；
（2）若f（x）≤0恒成立求m的取值范圍；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）過點(diǎn)P（1，﹣1），

∴﹣1=ln1﹣m，∴m=1，

∴f（x）=lnx﹣x，

，

f'（1）=0，

∴過點(diǎn)P（1，﹣1）的切線方程為y=﹣1

（2）解：∵f（x）≤0恒成立，

即lnx﹣mx≤0恒成立，

∴mx≥lnx，

又∵f（x）定義域?yàn)椋?，+∞），

∴ 恒成立；

設(shè) ，

∵ ，

∴當(dāng)x=e時(shí)，g'（e）=0

當(dāng)0＜x＜e時(shí)，g'（x）＞0，g（x）為單調(diào)增函數(shù)，

當(dāng)x＞e時(shí)，g'（x）＜0，g（x）為單調(diào)減函數(shù)，

∴ ，

∴當(dāng) 時(shí)，f（x）≤0恒成立

（3）解：∵ ，

①當(dāng)m≤0時(shí)，f'（x）＞0，

∴f（x）在（0，+∞）為單增函數(shù)，

∵在x∈[1，e]上，f（x）max=f（e）=1﹣me；

②當(dāng) ，即 時(shí)，

當(dāng) 時(shí)，f'（x）＞0，f（x）為單增函數(shù)，

當(dāng) 時(shí)，f'（x）＜0，f（x）為單減函數(shù)，

∴x∈[1，e]上， ；

③當(dāng)m＞1時(shí)，即 在 為單減函數(shù)，

∴x∈[1，e]上，f（x）max=f（1）=﹣m；

④當(dāng) ，即 時(shí)，

f（x）在 為單增函數(shù)，

∴x∈[1，e]時(shí)，f（x）max=f（e）=1﹣me；

綜上所述，

當(dāng) 時(shí)，f（x）max=f（e）=1﹣me，

當(dāng) 時(shí)，

當(dāng)m＞1時(shí)，f（x）max=f（1）=﹣m

【解析】（1）由f（x）過點(diǎn)P（1，﹣1）可得﹣1=ln1﹣m，從而解出m=1，進(jìn)而求曲線y=f（x）在點(diǎn)P的切線方程；（2）原式可化為lnx﹣mx≤0恒成立，結(jié)合x＞0可化為 恒成立，從而化為求 的最大值，利用導(dǎo)數(shù)求最值；（3）由 討論，m的取值，以確定函數(shù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的單調(diào)性，從而求函數(shù)在區(qū)間[1，e]上的最大值．
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．