Question

設(shè)各項(xiàng)均為正實(shí)數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足（）．
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為（），若，，（）成等差數(shù)列，求和的值；
（Ⅲ）證明：存在無窮多個(gè)三邊成等比數(shù)列且互不相似的三角形，其三邊長為數(shù)列中的三項(xiàng)，，．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ），，．
（Ⅲ）作如下構(gòu)造：，，，其中，它們依次為數(shù)列中第項(xiàng)，第項(xiàng)，第，顯然它們成等比數(shù)列，且，所以它們能組成三角形．
由的任意性，知這樣的三角形有無窮多個(gè)．
用反證法證明其中任意兩個(gè)和不相似

試題分析：（Ⅰ）由題意，①，當(dāng)時(shí)，有②，
②-①，得，各項(xiàng)為正，，
從而，故成公差2的等差數(shù)列．又時(shí)，，解得．故．                                4分
（Ⅱ），要使，，成等差數(shù)列，須，
即，整理得，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010902847337.png" style="vertical-align:middle;" />，為正整數(shù)，只能取2，3，5．故，，．                  10分
（Ⅲ）作如下構(gòu)造：，，，其中，它們依次為數(shù)列中第項(xiàng)，第項(xiàng)，第，顯然它們成等比數(shù)列，且，所以它們能組成三角形．
由的任意性，知這樣的三角形有無窮多個(gè)．
下面用反證法證明其中任意兩個(gè)和不相似：若∽，且，則，整理得，所以，這與矛盾，因此，任意兩個(gè)三角形不相似．故原命題正確．           16分
點(diǎn)評：基礎(chǔ)題，首先利用的關(guān)系，確定得到的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步研究中項(xiàng)的關(guān)系。為證明，，能構(gòu)成三角形，在明確表達(dá)式的基礎(chǔ)上，應(yīng)用了反證法。