Question

已知圓C滿足：
（1）截y軸所得弦MN長(zhǎng)為4；
（2）被x軸分成兩段圓弧，其弧 長(zhǎng)之比為3：1，且圓心在直線y=x上，求圓C的方程．（為方便學(xué)生解答，做了一種情形的輔助圖形）

Answer 1

解：設(shè)圓的方程是（x-a）²+（y-b）²=r²，圓心是（a，b），半徑是r，
∵圓截y軸所得弦長(zhǎng)為4，
∴r²=4+a²．
∵被x軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)之比為3：1，
∴r=．
∵圓心（a，b）在直線y=x上，
∴b=a．
∴，
解得：a=b=2，r=或者a=b=-2，r=，
所以圓的方程：（x-2）²+（y-2）²=8或者（x+2）²+（y+2）²=8．
分析：設(shè)出圓的方程，圓心為（a，b），半徑為r，根據(jù)垂徑定理及勾股定理得到r²=4+a²，根據(jù)圓C被x軸分成的兩點(diǎn)圓弧，弧長(zhǎng)之比為3：1，得到角ACB等于90°，得到圓的半徑r等于|b|，又根據(jù)圓心在直線y=x上，把圓心坐標(biāo)代入y=x中得到a=b，
把得到的三個(gè)等式聯(lián)立即可求出a，b及r的值，進(jìn)而得到圓C的圓心坐標(biāo)及半徑，根據(jù)圓心和半徑寫(xiě)出圓的方程即可．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用韋達(dá)定理及勾股定理化簡(jiǎn)求值，掌握?qǐng)A中的弧之比所對(duì)的圓心角之比的性質(zhì)，是一道多知識(shí)的綜合題．