Question

【題目】拋物線：過(guò)點(diǎn).

（1）求拋物線的方程；

（2）設(shè)為軸上一點(diǎn)，為拋物線上任意一點(diǎn)，求的最小值；

（3）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，作相互垂直的兩條弦和，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，的最小值為；當(dāng)時(shí)，的最小值為（3）32

【解析】

（1）將點(diǎn)代入拋物線方程，解出，即可求出；

（2）設(shè)出點(diǎn)，根據(jù)距離公式表示出，再根據(jù)二次函數(shù)知識(shí)即可求出；

（3）由題可知兩直線斜率都存在，所以設(shè)：，：，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出，，根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可求出和的長(zhǎng)，然后根據(jù)基本不等式即可求出．

（1）將點(diǎn)代入拋物線方程，得，解得，

所以拋物線的方程為：．

（2）設(shè)點(diǎn)，則，．

所以．

設(shè)，對(duì)稱軸為，

當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，即的最小值為；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，的最小值為．

綜上，當(dāng)時(shí)，的最小值為；當(dāng)時(shí)，的最小值為．

（3）由題可知兩直線斜率都存在，設(shè)，，

：，：，

由，化簡(jiǎn)得，，所以，

同理可得，，即，，

故．

即的最小值為32．