Question

已知f(x)=3sin(2x-

π

6

)，若α∈（0，π）存在，使f（x+α）=f（x-α）對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則α=

π

2

．

Answer 1

分析：首先根據(jù)f（x+α）=f（x-α）以及利用兩角和與差公式得出2cos（2x-

π

6

）sin2α=0，然后根據(jù)正弦函數(shù)的特點(diǎn)和α的范圍，求得α的值．

解答：解：∵f（x+α）=f（x-α）
∴f（x+α）-f（x-α）=0
即3{sin[（2x-

π

6

）+2α]-sin[（2x-

π

6

）-2α]}=3{sin（2x-

π

6

）cos2α+cos（2x-

π

6

）sin2α-sin（2x-

π

6

）cos2α+cos（2x-

π

6

）sin2α}=2cos（2x-

π

6

）sin2α=0
∵f（x+α）=f（x-α）對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立
∴sin2α=0
∵α∈（0，π）
∴α=

π

2

故答案為：

π

2

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差公式以及正弦函數(shù)的特點(diǎn)，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．