Question

【題目】設(shè)函數(shù)，，給定下列命題：

①若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則；

②若方程恰好只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則；

③若，總有恒成立，則；

④若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù).

則正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)，極值以及恒成立問(wèn)題.

對(duì)于①，的定義域，，

令有即，可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，且當(dāng)時(shí)，又，

從而要使得方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，即與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

所以，故①正確

對(duì)于②，易知不是該方程的根，

當(dāng)時(shí)，，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于和

只有一個(gè)交點(diǎn)，，又且，令，即，有，知在和單減，在上單增，是一條漸近線，極小值為。

由大致圖像可知或，故②錯(cuò)

對(duì)于③ 當(dāng)時(shí)，

恒成立，

等價(jià)于恒成立，

即函數(shù)在上為增函數(shù)，

即恒成立，

即在上恒成立，

令，則，

令得，有，

從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

則，

于是，故③正確.

對(duì)于④ 有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，

等價(jià)于有兩個(gè)不同的正根，

即方程有兩個(gè)不同的正根，

由③可知，，即，則④正確.

故正確命題個(gè)數(shù)為3，故選.