Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，且a_n與1的等差中項(xiàng)等于S_n與1的等比中項(xiàng)．
（1）求a₁的值及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

2

1+an

+(-1)n-1×2n+1λ，若數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由a_n與1的等差中項(xiàng)等于S_n與1的等比中項(xiàng)列出遞推式，取n=1求出a₁，取n=n-1得到另一遞推式，作差后整理得到（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，再由數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列得到a_n-a_n-1=2，然后直接寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）把（1）中求出的通項(xiàng)公式代入bn=

2

1+an

+(-1)n-1×2n+1λ，根據(jù)數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞增數(shù)列得到bn-bn-1=4n+1+λ×(-1)n×2n+2-4n-λ×(-1)n-1×2n-1=3×4ⁿ-3λ×（-1）^n-1×2ⁿ⁺¹＞0恒成立．分n為偶數(shù)和奇數(shù)討論后求出λ的取值范圍．

解答：解：（1）由已知得，

an+1

2

=

Sn

，4Sn=an2+2an+1．
當(dāng)n=1時(shí)，求得a₁=1
當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn-1=an-12+2an-1+1
所以4an=4Sn-4Sn-1=an2+2an-an-12-2an-1
整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
因?yàn)閧a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以a_n-a_n-1=2，
又a₁=1，所以a_n=2n-1；
（2）由（1）得，bn=4n+λ×(-1)n-1×2n+1，
又?jǐn)?shù)列{b_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，所以b_n＜b_n+1恒成立，
從而bn-bn-1=4n+1+λ×(-1)n×2n+2-4n-λ×(-1)n-1×2n-1
=3×4ⁿ-3λ×（-1）^n-1×2ⁿ⁺¹＞0恒成立．
①當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，得λ＜2^n-1恒成立，2^n-1的最小值為1，λ＜1
②當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，得λ＞-2^n-1恒成立，-2^n-1最大值為-2，λ＞-2．
綜上得：-2＜λ＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了分類討論得數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．