Question

如圖所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，∠BCA=90°，E、M分別是CC₁、A₁B₁的中點．
（1）求證：A₁B⊥C₁M；
（2）求證：C₁M∥平面AB₁E．

Answer 1

分析：（1）由已知中直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，E、M分別是CC₁、A₁B₁的中點，我們易結(jié)合直三棱柱的結(jié)構(gòu)特征得到，C₁M⊥A₁B₁．BB₁⊥C₁M．由線面垂直的判定定理即可得到C₁M⊥平面A₁BB₁，進一步再由線面垂直的性質(zhì)定理，即可得到答案．
（2）連接AB₁交A₁B₁于點D，連接DE、MD、AE、EB₁，由三角形的中位線定理，我們易得四邊形MDEC₁是平行四邊形，即C₁M∥ED，再由線面平行的判定定理，即可得到結(jié)論．

解答：證明：（1）∵CA=CB∴C₁A₁=C₁B₁，點M為A₁B₁的中點∴C₁M⊥A₁B₁..（2分）
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∴B₁B⊥平面A₁B₁C₁，C₁M?平面A₁B₁C₁
∴BB₁⊥C₁M．（4分）又∵BB₁∩A₁B₁=B₁∴C₁M⊥平面A₁BB₁，A₁B?平面A₁BB₁∴C₁M⊥A₁B（6分）
（2）連接AB₁交A₁B₁于點D，連接DE、MD、AE、EB₁．∵四邊形ABB₁A₁是長方形∴點D為AB₁的中點
∵點M為A₁B₁的中點∴MD為△B₁A₁A的中位線∴MD∥AA₁且|MD|=

1

2

|AA₁|（8分）
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁E∥AA₁且|C1E|=

1

2

|AA1|∴MD∥C₁E且|MD|=|C₁E|∴四邊形MDEC₁是平行四邊形∴C₁M∥ED又∵ED?平面AB₁E，C₁M?平面AB₁E∴C₁M∥平面AB₁E（13分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的性質(zhì)，直線與平面平行的判定，其中熟練掌握空間直線與平面間垂直、平行的判定、性質(zhì)、定義是解答本題的關(guān)鍵．