【題目】已知O是邊長(zhǎng)為 的正方形ABCD的中心,點(diǎn)E、F分別是AD、BC的中點(diǎn),沿對(duì)角線AC把正方形ABCD折成直二面角D﹣AC﹣B; (Ⅰ)求∠EOF的大小;
(Ⅱ)求二面角E﹣OF﹣A的余弦值;
(Ⅲ)求點(diǎn)D到面EOF的距離.
【答案】解:(Ⅰ)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn),以 的方向
為x,y,z軸的正方向,建立如圖所示的坐標(biāo)系,
則F(1,1,0),E(0,﹣1,1),
∴ , , ,
∴ ,∴ ,
(Ⅱ)設(shè)平面EOF的法向量為 ,則 ,
即 ,令x=1,則y=﹣1,z=﹣1,
得 ,
又平面FOA的法向量為 ,
,
二面角E﹣OF﹣A的余弦值為 .
(Ⅲ)∵D(0,0,2),E(0,﹣1,1),∴
∴點(diǎn)D到平面EOF的距離為 .
【解析】(Ⅰ)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn),以 的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向,建立如圖所示的坐標(biāo)系,求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),求出 , ,然后求解∠EOF的大。á颍┣蟪銎矫鍱OF的法向量,平面FOA的法向量,利用空間向量的數(shù)量積求解二面角E﹣OF﹣A的余弦值.(Ⅲ)求出 ,利用空間向量距離公式求解即可.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知 的最大值為 ,若存在實(shí)數(shù) ,使得對(duì)任意實(shí)數(shù) 總有 成立,則 的最小值為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù) 的圖象為C,如下結(jié)論:
①圖象C關(guān)于直線 對(duì)稱(chēng); ②圖象C關(guān)于點(diǎn)( ,0)對(duì)稱(chēng);③函數(shù) 在區(qū)間( 內(nèi)是增函數(shù);④由 的圖角向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到圖象C。其中正確結(jié)論的序號(hào)是。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱 中, ,底面三角形 是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形, 為 的中點(diǎn).
(1)求證: ;
(2)若直線 與平面 所成的角為 ,求三棱柱 的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率都為40%,現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率:先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定1,2,3,4表示命中;5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表三次投籃的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù),據(jù)此估計(jì),該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為( )
137 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
A.0.40
B.0.30
C.0.35
D.0.25
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校夏令營(yíng)有3名男同學(xué)A、B、C和3名女同學(xué)X,Y,Z,其年級(jí)情況如下表,現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識(shí)競(jìng)賽(每人被選到的可能性相同).
一年級(jí) | 二年級(jí) | 三年級(jí) | |
男同學(xué) | A | B | C |
女同學(xué) | X | Y | Z |
(1)用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果;
(2)設(shè)M為事件“選出的2人來(lái)自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”,求事件M發(fā)生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對(duì)照數(shù)據(jù).
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(參考數(shù)值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)
(1)請(qǐng)畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;
(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程 ;
(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤.試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程,預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少?lài)崢?biāo)準(zhǔn)煤.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=xex+ax2+2x+1在x=﹣1處取得極值.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)y=f(x)﹣m﹣1在[﹣2,2]上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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