已知a>0,b>0,n>1,n∈N*.用數(shù)學(xué)歸納法證明:
an+bn
2
≥(
a+b
2
)n
分析:用數(shù)學(xué)歸納法證明分為兩個(gè)步驟,第一步,先證明當(dāng)當(dāng)n=2時(shí),左邊=右邊,第二步,先假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,k>1)時(shí),不等式成立,利用此假設(shè)證明當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立即可.
解答:證明:(1)當(dāng)n=2時(shí),左邊-右邊=
a2+b2
2
-(
a+b
2
)2=(
a-b
2
)2≥0
,不等式成立.(2分)
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,k>1)時(shí),不等式成立,即
ak+bk
2
≥(
a+b
2
)k
.(4分)
因?yàn)閍>0,b>0,k>1,k∈N*,
所以(ak+1+bk+1)-(akb+abk)=(ak-bk)(a-b)≥0,于是ak+1+bk+1≥akb+abk.(6分)
當(dāng)n=k+1時(shí),(
a+b
2
)
k+1
=(
a+b
2
)
k
a+b
2
ak+bk
2
a+b
2
=
ak+1+bk+1+akb+abk
4
ak+1+bk+1+ak+1+bk+1
4
=
ak+1+bk+1
2

即當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.(9分)
綜合(1),(2)知,對(duì)于a>0,b>0,n>1,n∈N*,不等式
an+bn
2
≥(
a+b
2
)n
總成立.
(11分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)學(xué)歸納法的基本形式
設(shè)P(n)是關(guān)于自然數(shù)n的命題,若1°P(n0)成立(奠基)
2°假設(shè)P(k)成立(k≥n0),可以推出P(k+1)成立(歸納),則P(n)對(duì)一切大于等于n0的自然數(shù)n都成立
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知a>0,b>0,且ab=1,α=a+
4
a
,β=b+
4
b
,則α+β的最小值為(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,判斷曲線C:
x=2cosθ
y=sinθ
(θ為參數(shù))與直線l:
x=1+2t
y=1-t
(t為參數(shù))是否有公共點(diǎn),并證明你的結(jié)論.
(2)已知a>0,b>0,a+b=1,求證:
1
2a+1
+
4
2b+1
9
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•松江區(qū)二模)已知雙曲線C的中心在原點(diǎn),D(1,0)是它的一個(gè)頂點(diǎn),
d
=(1,
2
)
是它的一條漸近線的一個(gè)方向向量.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若過(guò)點(diǎn)(-3,0)任意作一條直線與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn) (A,B都不同于點(diǎn)D),求證:
DA
DB
為定值;
(3)對(duì)于雙曲線Γ:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0,a≠b)
,E為它的右頂點(diǎn),M,N為雙曲線Γ上的兩點(diǎn)(都不同于點(diǎn)E),且EM⊥EN,那么直線MN是否過(guò)定點(diǎn)?若是,請(qǐng)求出此定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,說(shuō)明理由.然后在以下三個(gè)情形中選擇一個(gè),寫出類似結(jié)論(不要求書寫求解或證明過(guò)程).
情形一:雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0,a≠b)
及它的左頂點(diǎn);
情形二:拋物線y2=2px(p>0)及它的頂點(diǎn);
情形三:橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
及它的頂點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知a>0,b>0,a+b=1,則a+
1
a
+b+
1
b
的最小值為
5
5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:松江區(qū)二模 題型:解答題

已知雙曲線C的中心在原點(diǎn),D(1,0)是它的一個(gè)頂點(diǎn),
d
=(1,
2
)
是它的一條漸近線的一個(gè)方向向量.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若過(guò)點(diǎn)(-3,0)任意作一條直線與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn) (A,B都不同于點(diǎn)D),求證:
DA
DB
為定值;
(3)對(duì)于雙曲線Γ:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0,a≠b)
,E為它的右頂點(diǎn),M,N為雙曲線Γ上的兩點(diǎn)(都不同于點(diǎn)E),且EM⊥EN,那么直線MN是否過(guò)定點(diǎn)?若是,請(qǐng)求出此定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,說(shuō)明理由.然后在以下三個(gè)情形中選擇一個(gè),寫出類似結(jié)論(不要求書寫求解或證明過(guò)程).
情形一:雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0,a≠b)
及它的左頂點(diǎn);
情形二:拋物線y2=2px(p>0)及它的頂點(diǎn);
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x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
及它的頂點(diǎn).

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