Question

若非零函數對任意實數均有，且當時
（1）求證：；
（2）求證：為R上的減函數；
（3）當時， 對時恒有，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）證法一：即又

當時， 
 則
故對于恒有                    
證法二： 為非零函數   
（2）證明：令且
有， 又 即
故 又 
故為R上的減函數
（3）實數的取值范圍為

試題分析：（1）由題意可取代入等式，得出關于的方程，因為為非零函數，故，再令代入等式，可證，從而證明當時，有；（2）著眼于減函數的定義，利用條件當時，有，根據等式，令，，可得，從而可證該函數為減函數.（3）根據，由條件可求得，將替換不等式中的，再根據函數的單調性可得，結合的范圍，從而得解.
試題解析：（1）證法一：即又

當時， 
 則
故對于恒有                             4分
證法二： 為非零函數   
（2）令且
有， 又 即
故 又 
故為R上的減函數                               8分
（3）故，        10分
則原不等式可變形為
依題意有 對恒成立
或或
故實數的取值范圍為       13分