Question

有下列命題：
①在函數(shù)y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）的圖象中，相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為π；
②函數(shù)y=

x+3

x-1

的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，1）對(duì)稱；
③關(guān)于x的方程ax²-2ax-1=0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a=-1；
④已知命題p：對(duì)任意的x∈R，都有sinx≤1，則￢p是：存在x∈R，使得sinx＞1；
⑤在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，則角C等于30°或150°．
其中所有真命題的序號(hào)是

③④

．

Answer 1

分析：①將函數(shù)y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）的化為y=

1

2

cos2x，利用其周期判斷即可；
②將函數(shù)y=

x+3

x-1

轉(zhuǎn)化為y=1+

4

x-1

，可知其對(duì)稱中心為（1，1）；
③對(duì)a分a=0與a≠0討論即可；
④利用全稱命題的否定是特稱命題，注意量詞的轉(zhuǎn)化與結(jié)論的變化即可；
⑤利用兩角和的正弦公式與誘導(dǎo)公式可求得sinC=

1

2

，再排除C=150°即可判斷其正誤．

解答：解：∵=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）
=cos（

π

4

-x）sin[

π

2

-（x+

π

4

）]
=cos（

π

4

-x）sin（

π

4

-x）
=

1

2

sin（

π

2

-2x）
=

1

2

cos2x，
∴其周期T=π，又相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為

T

2

=

π

2

，
故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，∵函數(shù)y=

x+3

x-1

=1+

4

x-1

，
∴其對(duì)稱中心為（1，1），而非（-1，1），
故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，∵x的方程ax²-2ax-1=0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴當(dāng)a=0時(shí)，方程無(wú)解，故舍去；
當(dāng)a≠0時(shí)，方程ax²-2ax-1=0為一元二次方程，有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根?△=4a²+4a=0，
∴a=-1．
故③正確；
對(duì)于④，已知命題p：對(duì)任意的x∈R，都有sinx≤1，則￢p是：存在x∈R，使得sinx＞1，正確；
對(duì)于⑤，∵在△ABC中，若3sinA+4cosB=6（1），4sinB+3cosA=1（2），
∴（1）²+（2）²得：9+16+24sin（A+B）=37，
∴24sin（A+B）=12，sin（A+B）=

1

2

，又A+B+C=π，
∴sinC=

1

2

，又0°＜C＜180°，
∴C等于30°或150°．
若C=150°，則0°＜A＜30°，0°＜B＜30°，
∴4sinB+3cosA＞0+3cos30°=

3 3

2

＞1，與已知4sinB+3cosA=1矛盾，
∴C≠150°，故⑤錯(cuò)誤．
綜上所述，只有③④正確．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查函數(shù)的對(duì)稱性，命題的否定及三角函數(shù)公式的應(yīng)用，考查分析與綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．