【題目】從1~2010中選出總和為1006779的1005個數(shù),且這1005個數(shù)中任意兩數(shù)之和都不等于2011.
(1)證明: 為定值;
(2)當取最小值時,求 中所有小于1005的數(shù)之和。
【答案】(1)見解析;(2)44253
【解析】
將{1,2,...,2010}分成1005組:
.
因中任兩數(shù)之和不等于2011,故各組中恰取一數(shù).先在各組中取偶數(shù),組成,其中.
又,
故必有一些偶數(shù)被換成同組的奇數(shù).
設(shè)組的換數(shù)使的增量為,其中,k=1,2,3.則
.
在組中,若將2j換成2011-2j,則;
在組中,若將2012-2j換成2j-1,則
;
且
故
1 由式①知為定值,且
為定值.
2 由式②知,當且僅當取最小值時,取最小值.
首先,求{0,1,...,502}的子集I、J,使得
且
最小,其中,.
設(shè),其中,1≤n≤m≤502.則
由4n-1<4n+1,取m=n.則由式①解得n=354.
下面證明:對任意滿足式①的其他子集,有
設(shè)
則
注意到,式③中左邊的每個數(shù)都小于右邊的每個數(shù).由調(diào)整法易知
故I={1,2,...,354},J={354,355,...,502}.
從而,,當取最小值時,有
{2011-2j|j=149,150,...,502}∪
{2j-1|j=1,2,...,149}∪
{2012-2j|j=150,151,...,503},
其中,所有小于1005的數(shù)之和為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】近年來,共享單車已經(jīng)悄然進入了廣大市民的日常生活,并慢慢改變了人們的出行方式.為了更好地服務(wù)民眾,某共享單車公司在其官方中設(shè)置了用戶評價反饋系統(tǒng),以了解用戶對車輛狀況和優(yōu)惠活動的評價.現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出條較為詳細的評價信息進行統(tǒng)計,車輛狀況的優(yōu)惠活動評價的列聯(lián)表如下:
對優(yōu)惠活動好評 | 對優(yōu)惠活動不滿意 | 合計 | |
對車輛狀況好評 | |||
對車輛狀況不滿意 | |||
合計 |
(1)能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為優(yōu)惠活動好評與車輛狀況好評之間有關(guān)系?
(2)為了回饋用戶,公司通過向用戶隨機派送每張面額為元,元,元的 三種騎行券.用戶每次使用掃碼用車后,都可獲得一張騎行券.用戶騎行一次獲得元券,獲得元券的概率分別是,,且各次獲取騎行券的結(jié)果相互獨立.若某用戶一天使用了兩次該公司的共享單車,記該用戶當天獲得的騎行券面額之和為,求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.
參考數(shù)據(jù):
參考公式:,其中.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在圓周上依次有個點,今隨機地選取其中個點為頂點作凸邊形,已知選取與否的可能性是相同的,試求對每個,邊形的兩個相鄰頂點(規(guī)定)之間至少有中的個點的概率,其中,是給定的一組正整數(shù).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】有A、B、C三人進行乒乓球比賽,當其中兩個人比賽時,另一個人作裁判,此場比賽的輸者在下一場中當裁判,另兩個人接著比賽.比賽進行了若干場以后,已知A共賽了a場,B共賽了b場.求C賽的場數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,已知直線與曲線相切于兩點,則對于函數(shù),以下結(jié)論成立的是( )
A.有3個極大值點,2個極小值點B.有2個零點
C.有2個極大值點,沒有極小值點D.沒有零點
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間,需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.
(1)求六月份這種酸奶一天的需求量(單位:瓶)的分布列;
(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為(單位:元),當六月份這種酸奶一天的進貨量(單位:瓶)為多少時,的數(shù)學期望達到最大值?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知命題:函數(shù)的圖像恒過定點;命題:若函數(shù)為偶函數(shù),則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,則下列命題為真命題的是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在正方體的8個頂點、12條棱的中點、6個側(cè)面的中心點、1個體的中心點,這27個點中,共球面的8點組的個數(shù)是().
A. 4462 B. 4584 C. 4590 D. 4602
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