Question

（本小題滿分14分）
已知函數(shù)，．
（Ⅰ）求函數(shù)的極值；
（Ⅱ）判斷函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)，并給予證明；
（Ⅲ）閱讀右邊的程序框圖，請結(jié)合試題背景簡要描述其算法功能，并求出執(zhí)行框圖所表達的算法后輸出的值．

Answer 1

(1) 當時，取得極小值，無極大值
(2) 函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點.,根據(jù)構(gòu)造函數(shù)思想，利用端點值函數(shù)值異號判定。
(3) 輸出的值為4

解析試題分析：解：（Ⅰ）∵，，……………1分
當時，；當時，.……………3分
當時，取得極小值，無極大值.……………4分
（Ⅱ）函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點.    ……………5分
證明如下：
∵，
，
，
函數(shù)在區(qū)間上必定存在零點.      ………6分
∵，當時，，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，             8分
∴函數(shù)在區(qū)間上的零點最多一個.    ……9分
綜上知：函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點．
（Ⅲ）程序框圖的算法功能：找出最小的正整數(shù),使的零點滿足.               …10分
∵，
當時，；
當時，.   ……11分
又在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當時，；當時，.………13分
輸出的值為4． …………………………………14分
考點：函數(shù)極值，函數(shù)零點，框圖
點評：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、零點、算法初步等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想。