【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當時,求函數(shù)的極值;
(Ⅱ)時,討論的單調(diào)性;
(Ⅲ)若對任意的恒有成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)函數(shù)的極小值為,無極大值;(Ⅱ)當時,函數(shù)的在定義域單調(diào)遞增;當時,在區(qū)間,上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增;當時,在區(qū)間,上單調(diào)遞減,在區(qū)間,上單調(diào)遞增.
(Ⅲ).
【解析】
試題(1)函數(shù)的定義域為, 當時,函數(shù),利用導函數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性,即可求出函數(shù)的極值;
(2)由,所以,
令,得,,對、、分類討論,求出的單調(diào)性;
(3)若對任意的恒有成立,等價于當,對任意的,恒有成立,由(Ⅱ)知,,所以上式化為對任意的,恒有成立,即,因為,所以,所以.
試題解析:(1)函數(shù)的定義域為.,令,
得;(舍去).
當變化時,的取值情況如下:
— | 0 | ||
減 | 極小值 | 增 |
所以,函數(shù)的極小值為,無極大值.
(2),令,得,,
當時,,函數(shù)的在定義域單調(diào)遞減;
當時,在區(qū)間,,上,單調(diào)遞減,
在區(qū)間,上,單調(diào)遞增;
當時,在區(qū)間,,上,單調(diào)遞減,
在區(qū)間,上,單調(diào)遞增.
(3)由(2)知當時,函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減;所以,當時,,
問題等價于:對任意的,恒有成立,即,因為a<0,,所以,實數(shù)的取值范圍是.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了普及環(huán)保知識,增強環(huán)保意識,某大學從理工類專業(yè)的班和文史類專業(yè)的班各抽取名同學參加環(huán)保知識測試,統(tǒng)計得到成績與專業(yè)的列聯(lián)表:( )
優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 總計 | |
班 | 14 | 6 | 20 |
班 | 7 | 13 | 20 |
總計 | 21 | 19 | 40 |
附:參考公式及數(shù)據(jù):
(1)統(tǒng)計量:,().
(2)獨立性檢驗的臨界值表:
0.050 | 0.010 | |
3.841 | 6.635 |
則下列說法正確的是
A. 有的把握認為環(huán)保知識測試成績與專業(yè)有關(guān)
B. 有的把握認為環(huán)保知識測試成績與專業(yè)無關(guān)
C. 有的把握認為環(huán)保知識測試成績與專業(yè)有關(guān)
D. 有的把握認為環(huán)保知識測試成績與專業(yè)無關(guān)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線(a>0,b>0)的右焦點為F(3,0),左、右頂點分別為M,N,點P是E在第一象限上的任意一點,且滿足kPMkPN=8.
(1)求雙曲線E的方程;
(2)若直線PN與雙曲線E的漸近線在第四象限的交點為A,且△PAF的面積不小于3,求直線PN的斜率k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( )
A.命題p:,則¬p:x∈R,x2+x+1<0
B.在△ABC中,“A<B”是“sinA<sinB”的既不充分也不必要條件
C.若命題p∧q為假命題,則p,q都是假命題
D.命題“若x2﹣3x+2=0,則x=1”的逆否命題為“x≠1,則x2﹣3x+2≠0”
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列命題中正確的是( )
A.若p∨q為真命題,則p∧q為真命題
B.“x=5”是“x2-4x-5=0”的充分不必要條件
C.命題“若x<-1,則x2-2x-3>0”的否定為:“若x≥-1,則x2-2x-3≤0”
D.已知命題p:x∈R,x2+x-1<0,則p:x∈R,x2+x-1≥0
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】橢圓將圓的圓周分為四等份,且橢圓的離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓交于不同的兩點,且的中點為,線段的垂直平分線為,直線與軸交于點,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設分別是橢圓的左、右焦點,已知橢圓的長軸為是橢圓上一動點,的最大值為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點的直線交橢圓于兩點,為橢圓上一點,為坐標原點,且滿足,其中,求的取值范圍.
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