Question

如圖，以原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，以y軸為對(duì)稱軸的拋物線E的焦點(diǎn)為F（0，1），點(diǎn)M是直線l：y=m（m＜0）上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M引拋物線E的兩條切線分別交x軸于點(diǎn)S，T，切點(diǎn)分別為B，A．
（I）求拋物線E的方程；
（Ⅱ）求證：點(diǎn)S，T在以FM為直徑的圓上；
（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)M在直線l上移動(dòng)時(shí)，直線AB恒過(guò)焦點(diǎn)F，求m的值．

Answer 1

解：（I）設(shè)拋物線E的方程為x²=2py（p＞0），
依題意，
所以拋物線E的方程為x²=4y．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．x₁x₂≠0，否則切線不過(guò)點(diǎn)M
∵，∴切線AM的斜率，
方程為，其中
令y=0，得，點(diǎn)T的坐標(biāo)為，
∴直線FT的斜率，
∵，
∴AM⊥FT，即點(diǎn)T在以FM為直徑的圓上；
同理可證點(diǎn)S在以FM為直徑的圓上，
所以S，T在以FM為直徑的圓上．
（Ⅲ）拋物線x²=4y焦點(diǎn)F（0，1），可設(shè)直線AB：y=kx+1．
由，
則x₁x₂=﹣4．
由（Ⅱ）切線AM的方程為過(guò)點(diǎn)M（x₀，m），
得，
同理
消去x₀，得
∵x₁≠x₂，由上x(chóng)₁x₂=﹣4
∴，即m的值為﹣1．

略