【題目】已知函數(shù)滿足:對任意,,都有成立,且時,.
(1)求的值,并證明:當(dāng)時,;
(2)判斷的單調(diào)性并加以證明;
(3)若函數(shù)在上遞減,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1),證明見解析;(2)在上是增函數(shù),證明見解析;(3).
【解析】
試題分析:(1)令可求得或,根據(jù)時,可排除,設(shè),則,那么,再由可得結(jié)論;(2)設(shè),則,∴,可證;(3)若函數(shù)在上遞減,即時,,根據(jù)單調(diào)性,,進(jìn)而.
試題解析:(1)∵,
∴,或.
若,則,
與已知條件時,相矛盾,
所以.
設(shè),則,那么.
又,
∴,
∵,∴,從而.
(2)函數(shù)在上是增函數(shù),設(shè),則,∴,
,
∵由(1)可知對任意,,∴,
又,∴,
即,
∴函數(shù)在上是增函數(shù).
(3)∵由(2)知函數(shù)在上是增函數(shù),
∴函數(shù)在上也是增函數(shù),若函數(shù)在上遞減,
則當(dāng)時,,即時,,
∵時,,
∴.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】天氣預(yù)報顯示,在今后的三天中,每一天下雨的概率為40%,現(xiàn)用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率:先利用計(jì)算器產(chǎn)生0--9之間整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),并制定用1,2,3,4表示下雨,用5,6,7,8,9,0表示不下雨,再以每3個隨機(jī)數(shù)作為一組,代表三天的天氣情況,產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
則這三天中恰有兩天下雨的概率近似為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校隨機(jī)抽取部分新生調(diào)查其上學(xué)路上所需時間(單位:分鐘),并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖),其中,上學(xué)路上所需時間的范圍是,樣本數(shù)據(jù)分組為, , , , .
(1)求直方圖中的值;
(2)如果上學(xué)路上所需時間不少于40分鐘的學(xué)生可申請?jiān)趯W(xué)校住宿,請估計(jì)學(xué)校1000名新生中有多少名學(xué)生可以申請住宿.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如下圖,在三棱柱中,底面是邊長為2的等邊三角形,為的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)若四邊形是正方形,且,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,以橢圓的一個短軸端點(diǎn)及兩個焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為,圓C方程為.
(1)求橢圓及圓C的方程;
(2)過原點(diǎn)O作直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),若,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2017年天貓五一活動結(jié)束后,某地區(qū)研究人員為了研究該地區(qū)在五一活動中消費(fèi)超過3000元的人群的年齡狀況,隨機(jī)在當(dāng)?shù)叵M(fèi)超過3000元的群眾中抽取了500人作調(diào)查,所得概率分布直方圖如圖所示:記年齡在, , 對應(yīng)的小矩形的面積分別是,且.
(1)以頻率作為概率,若該地區(qū)五一消費(fèi)超過3000元的有30000人,試估計(jì)該地區(qū)在五一活動中消費(fèi)超過3000元且年齡在的人數(shù);
(2)計(jì)算在五一活動中消費(fèi)超過3000元的消費(fèi)者的平均年齡;
(3)若按照分層抽樣,從年齡在, 的人群中共抽取7人,再從這7人中隨機(jī)抽取2人作深入調(diào)查,求至少有1人的年齡在內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax-2.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若a=1,k為整數(shù),且當(dāng)x>0時,(x-k)f′(x)+x+1>0,求k的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了參加師大附中第30屆田徑運(yùn)動會的開幕式,高三年級某6個班聯(lián)合到集市購買了6根竹竿,作為班期的旗桿之用,它們的長度分別為3.8,4.3,3.6,4.5,4.0,4.1(單位:米).
(1)若從中隨機(jī)抽取兩根竹竿,求長度之差不超過0.5米的概率;
(2)若長度不小于4米的竹竿價格為每根10元,長度小于4米的竹竿價格為每根元.從這6根竹竿中隨機(jī)抽取兩根,若期望這兩根竹竿的價格之和為18元,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線().
(1)證明:直線過定點(diǎn);
(2)若直線不經(jīng)過第四象限,求的取值范圍;
(3)若直線軸負(fù)半軸于,交軸正半軸于,△的面積為(為坐標(biāo)原點(diǎn)),求的最小值,并求此時直線的方程.
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