Question

3．設a，b∈（0，1）且a+b=1，用反證法證明（$\frac{1}{a^2}$-1）與（$\frac{1}{b^2}$-1）至少有一個不小于3．

Answer 1

分析 采用反證法，假設（$\frac{1}{a^2}$-1）與（$\frac{1}{b^2}$-1）都小于3，即$\frac{1}{a^2}$-1＜3，$\frac{1}{b^2}$-1＜3，推出矛盾來．

解答 證明：假設（$\frac{1}{a^2}$-1）與（$\frac{1}{b^2}$-1）都小于3，即0＜$\frac{1}{a^2}$-1＜3，0＜$\frac{1}{b^2}$-1＜3，
所以（$\frac{1}{a^2}$-1）（$\frac{1}{b^2}$-1）＜9，
因為a，b＞0，且a+b=1，
所以（$\frac{1}{a^2}$-1）（$\frac{1}{b^2}$-1）=$\frac{（1+a）（1-a）}{{a}^{2}}•\frac{（1+b）（1-b）}{^{2}}$=$\frac{（1+a）b}{{a}^{2}}$•$\frac{（1+b）a}{^{2}}$
=$\frac{1+a}{a}$•$\frac{1+b}$=$\frac{1+a}{a}$•$\frac{2-a}{1-a}$＜9，
所以（2a-1）²＜0
這是不可能的．
故假設錯誤．故原結論成立．

點評 反證法，其特征是先假設命題的否定成立，推證出矛盾說明假設不成立，得出原命題成立．反證法一般適合用來證明正面證明較麻煩，而其對立面包含情況較少的情況．