如圖，已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）其右準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A，雙曲線虛軸的下端點(diǎn)為B，過雙曲線的右焦點(diǎn)F（c，0）作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)P，若點(diǎn)D滿足：2
OD
=
OF
+
OP
（O為原點(diǎn)）且
AB
=λ
AD
(λ≠0)
（1）求雙曲線的離心率；
（2）若a=2，過點(diǎn)B的直線l交雙曲線于M、N兩點(diǎn)，問在y軸上是否存在定點(diǎn)C，使?
CM
•
CN
為常數(shù)，若存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
（1）由題得B（0，-b），A（
a2
c
，0)易得P(c，
b2
a
)，P（c，
b2
a
）
∵2O
D
=O
F
+O
P

∴D為線段FP的中點(diǎn)（1分）
∴D（c，
b2
2a
)，又A
B
=λA
D
，
∵
AB
=λ
AD
(λ≠0)
即A、B、D共線（2分）
∴而A
B
=(-
a2
c
，-b)，A
D
=(c-
a2
c
，
b2
2a
)?，
?∴-
a2
c
•
b2
2a
-(-b)•(c-
a2
c
)=0得a=2b
∴e=
c
a
=
1+(
b
a
)2=
1+
1
4
=
5
2
（4分）?
（2）∵a=2而e=
5
2
∴b2=1
∴雙曲線方程為
x2
4
-y2=1①（5分）
∴B（0，-1）
假設(shè)存在定點(diǎn)C（0，n）使C
M
•C
N
為常數(shù)u，設(shè)MN的方程為y=kx-1②（6分）
由②代入①得（1-4k2）x2+8kx-8=0
由題意得
1-4k2≠0
△=64k2+32(1-4k2)＞0
得k2＜
1
2
且k2≠
1
4

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
∴x1+x2=
8k
4k2-1
，x1x2=
8
4k2-1
?（8分）
而C
M
•C
N
=(x1，y1-n)•(x2，y2-n)=x1x2+y1y2-n(y1+y2)+n2?
=(1+k2)x1x2-k(n+1)(x1+x2)+(n+1)2=
8(1+k2)
4k2-1
-
8k2(n+1)
4k2-1
+(n+1)2=u?
整理得：[4（n+1）2-8n-4u]k2+[8-（n+1）2+u]=0（10分）
對滿足k2?
1
2
且k2≠
1
4
的k恒成立，
∴
4(n+1)2-8n-4u=0
8-(n+1)2+u=0
解得n=4，u=17
故存在y軸上的定點(diǎn)C（0，4），使C
M
•C
N
為常數(shù)17（14分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知點(diǎn)B（6，0）和點(diǎn)C（-6，0），過點(diǎn)B的直線l與過點(diǎn)C的直線m相交于點(diǎn)A，設(shè)直線l的斜率為k1，直線m的斜率為k2，
（1）如果k1•k2=-
4
9
，求點(diǎn)A的軌跡方程，并寫出此軌跡曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）如果k1•k2=
4
9
，求點(diǎn)A的軌跡方程，并寫出此軌跡曲線的離心率；
（3）如果k1•k2=k（k≠0，k≠-1），根據(jù)（1）和（2），你能得到什么結(jié)論？（不需要證明所得結(jié)論）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知定點(diǎn)F（2，0），動圓P經(jīng)過點(diǎn)F且與直線x=-2相切，記動圓的圓心P的軌跡為C．
（Ⅰ）求軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線l與軌跡C交于A（x1，y1）、B（x1，y2）兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M為軌跡C上一點(diǎn)，若向量
OM
=
OA
+λ
OB
，求λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知拋物線C：y2=2px（p＞0）上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+b與拋物線C交于兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），且|y1-y2|=a（a為正常數(shù)）．過弦AB的中點(diǎn)M作平行于x軸的直線交拋物線C于點(diǎn)D，連接AD、BD得到△ABD．
（i）求實(shí)數(shù)a，b，k滿足的等量關(guān)系；
（ii）△ABD的面積是否為定值？若為定值，求出此定值；若不是定值，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
3
2
，直線x+y+1=0與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ，求該橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，M是拋物線y2=x上的一個定點(diǎn)，動弦ME、MF分別與x軸交于不同的點(diǎn)A、B，且|MA|=|MB|．證明：直線EF的斜率為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右頂點(diǎn)分別為A、B．點(diǎn)P雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1在第一象限內(nèi)的圖象上一點(diǎn)，直線AP、BP與橢圓C1分別交于C、D點(diǎn)．若△ACD與△PCD的面積相等．
（1）求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）能否使直線CD過橢圓C1的右焦點(diǎn)，若能，求出此時雙曲線C2的離心率，若不能，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1（-1，0），離心率為
2
2
．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G的橫坐標(biāo)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，拋物線C1：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，橢圓C2：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，C1與C2在第一象限的交點(diǎn)為P（
3
，
1
2
）
（1）求拋物線C1及橢圓C2的方程；
（2）已知直線l：y=kx+t（k≠0，t＞0）與橢圓C2交于不同兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)M滿足
AM
+
BM
=
0
，直線FM的斜率為k1，試證明k•k1＞
-1
4
．

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