【題目】設(shè)函數(shù)，其中，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）若在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；

（2）若，證明：.

【答案】(1) (2)見證明

【解析】

（1）在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于在有兩個(gè)根，分離參數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性及極值，即可得出取值；

范圍.（2）即，等價(jià)于,令，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，證明最大值小于0即可.

（1）由題意可知，，，

在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于在有兩個(gè)根，

由可得，，令，

則，令，

可得，當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減，且，

當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；

所以是的極大值也是最大值，又當(dāng)，當(dāng) 大于趨向于，

要使在有兩個(gè)根，只需，

所以的取值范圍為；

（2）證明：即，等價(jià)于，

令,，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，

當(dāng)時(shí)，，令，

，又，

取，且使，即，

則有，

因?yàn)?/span>，故存在唯一零點(diǎn)，

即有唯一的極值點(diǎn)且為極小值點(diǎn)，

由可得，，故，

因?yàn)?/span>，故為上的增函數(shù)，

所以，所以．

綜上，當(dāng)時(shí)，總有．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某市教育局衛(wèi)生健康所對(duì)全市高三年級(jí)的學(xué)生身高進(jìn)行抽樣調(diào)查，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，他們身高都處于五個(gè)層次，根據(jù)抽樣結(jié)果得到如下統(tǒng)計(jì)圖表，則從圖表中不能得出的信息是（ ）

A. 樣本中男生人數(shù)少于女生人數(shù)

B. 樣本中層次身高人數(shù)最多

C. 樣本中層次身高的男生多于女生

D. 樣本中層次身高的女生有3人

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，，，為線段上一點(diǎn)，且，平面，與平面所成的角為.

（1）求證:平面平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了調(diào)查煤礦公司員工的飲食習(xí)慣與月收入之間的關(guān)系，隨機(jī)抽取了30名員工，并制作了這30人的月平均收入的頻率分布直方圖和飲食指數(shù)表（說(shuō)明：圖中飲食指數(shù)低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于70的人，飲食以肉類為主）．其中月收入4000元以上員工中有11人飲食指數(shù)高于70.

20

21

21

25

32

33

36

37

42

43

44

45

45

58

58

59

61

66

74

75

76

77

77

78

78

82

83

85

86

90

（Ⅰ）是否有95%的把握認(rèn)為飲食習(xí)慣與月收入有關(guān)系？若有請(qǐng)說(shuō)明理由，若沒(méi)有，說(shuō)明理由并分析原因；

（Ⅱ）以樣本中的頻率作為概率，從該公司所有主食蔬菜的員工中隨機(jī)抽取3人，這3人中月收入4000元以上的人數(shù)為，求的分布列與期望；

（Ⅲ）經(jīng)調(diào)查該煤礦公司若干戶家庭的年收入（萬(wàn)元）和年飲食支出（萬(wàn)元）具有線性相關(guān)關(guān)系，并得到關(guān)于的回歸直線方程：.若該公司一個(gè)員工與其妻子的月收入恰好都為這30人的月平均收入（該家庭只有兩人收入），估計(jì)該家庭的年飲食支出費(fèi)用.

附：

.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知是半圓的直徑，，是將半圓圓周四等分的三個(gè)分點(diǎn)．

（1）從這5個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，求這3個(gè)點(diǎn)組成直角三角形的概率；

（2）在半圓內(nèi)任取一點(diǎn)，求的面積大于的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了40個(gè)用戶，根據(jù)用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分，得到地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖和地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻數(shù)分布表.

地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖

地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻數(shù)分布表

滿意度評(píng)分分組

頻數(shù)

2

8

14

10

6

（1）在圖中作出地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖，并通過(guò)直方圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度（不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可）.

地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖

（2）根據(jù)用戶滿意度評(píng)分，將用戶的滿意度分為三個(gè)等級(jí)：

td style="width:88.95pt; border-left-style:solid; border-left-width:0.75pt; border-bottom-style:solid; border-bottom-width:0.75pt; padding:3.38pt 5.03pt; vertical-align:middle">

不低于90分

滿意度評(píng)分

低于70分

70分到89分

滿意度等級(jí)

不滿意

滿意

非常滿意

公司負(fù)責(zé)人為了解用戶滿意度情況，從地區(qū)中調(diào)查8戶，其中有2戶滿意度等級(jí)是不滿意，求從這8戶中隨機(jī)抽取2戶檢查，抽到不滿意用戶的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，且， ， ， .

求（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，正三棱柱中，各棱長(zhǎng)均為4， 、分別是，的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】教材曾有介紹：圓上的點(diǎn)處的切線方程為.我們將其結(jié)論推廣：橢圓（）上的點(diǎn)處的切線方程為，在解本題時(shí)可以直接應(yīng)用.已知，直線與橢圓：（）有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)橢圓上的兩點(diǎn)、分別作該橢圓的兩條切線、，且與交于點(diǎn).當(dāng)變化時(shí)，求面積的最大值；

（3）若是橢圓上不同的兩點(diǎn)，軸，圓過(guò)且橢圓上任意一點(diǎn)都不在圓內(nèi)，則稱圓為該橢圓的一個(gè)內(nèi)切圓.試問(wèn)：橢圓是否存在過(guò)左焦點(diǎn)的內(nèi)切圓？若存在，求出圓心的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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