【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,1),平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m≠0),l交橢圓于A、B兩個(gè)不同點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及m的取值范圍;
(2)求證直線MA,MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.

【答案】
(1)解:設(shè)橢圓方程為 (a>b>0),且a=2b,

橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,1),則 ,解得:a=2 ,b=

∴橢圓方程 ;

∵直線l平行于OM,且在y軸上的截距為m 又kOM= ,

∴l(xiāng)的方程為:y= x+m,

,整理得:x2+2mx+2m2﹣4=0

∵直線l與橢圓交于A、B兩個(gè)不同點(diǎn),△=(2m)2﹣4(2m2﹣4)>0,解得:﹣2<m<0或0<m<2,

∴m的取值范圍是(﹣2,0)∪(0,2)


(2)證明:設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1,k2

要證直線MA,MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形.只需證明k1+k2=0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),l的方程為:y= x+m,則k1= ,k2=

,整理得:x2+2mx+2m2﹣4=0

∴x1+x2=﹣2m,x1x2=2m2﹣4,

而k1+k2= + = ,

其分子=( x1+m﹣1)(x2﹣2)+( x2+m﹣1)(x1﹣2)

=x1x2+(m﹣2)(x1+x2)﹣4(m﹣1)=2m2﹣4﹣2m(m﹣2)﹣4m+4=0,

∴k1+k2=0.

故直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形


【解析】(1)根據(jù)題意,將M點(diǎn)代入即可求得a和b的值,即可求得橢圓方程,求得直線l的方程,代入橢圓方程,由△>0即可求得m的取值范圍;(2)設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1,k2,只需證明k1+k2=0即可,根據(jù)直線的斜率公式及韋達(dá)定理即可求得答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)根據(jù)以上信息填好2×2聯(lián)表,并判斷出有多大的把握認(rèn)為學(xué)生
(2)成績(jī)優(yōu)良與班級(jí)有關(guān)?
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P(k2≥k0

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

k2= ,n=a+b+c+d.

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