Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，平面側面，且.

（1）求證：；

（2）若，求銳二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明過程詳見解析；（2）

【解析】

（1）連接，由已知可得四邊形為正方形，則有，由面面垂直可證平面，再證平面，即可得證結論.

（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量坐標運算求出二面角的余弦值，即可求得答案.

（1）如圖,連接

因為在直三棱柱中，平面,

所以,又，所以四邊形為正方形，

所以,又因為平面側面

平面側面,且側面，

所以平面,所以.

又由平面可得,且，

所以 平面，所以.

（2）由（1）知，平面,

如圖，以為原點，以分別為軸，軸，

軸的正向建立空間直角坐標系.

因為，，

則有,,,,

所以,,

設向量是平面的法向量，

則,所以，

取，則是平面的一個法向量.

設向量是平面的法向量，

則,所以，

取，則是平面的一個法向量.

因為,

設銳二面角的平面角為，則，

所以，所以銳二面角的大小為.