【題目】如圖☆的曲線,其生成方法是(I)將正三角形(圖(1))的每邊三等分,并以中間的那一條線段為一底邊向形外作等邊三角形,然后去掉底邊,得到圖(2);(II)將圖(2)的每邊三等分,重復上述的作圖方法,得到圖(3);(III)再按上述方法繼續(xù)做下去,所得到的曲線稱為雪花曲線(Koch Snowflake),
(1)(2)(3).
設圖(1)的等邊三角形的邊長為1,并且分別將圖(1)、(2)、(3)…中的圖形依次記作M1、M2、M3、……
(1)設中的邊數(shù)為中每條邊的長度為,寫出數(shù)列和的遞推公式與通項公式;
(2)設的周長為,所圍成的面積為,求數(shù)列{}與{}的通項公式;請問周長與面積的極限是否存在?若存在,求出該極限,若不存在,簡單說明理由.
【答案】(1)且,;,; (2);;周長的極限不存在,面積的極限為.
【解析】
(1)根據(jù)題意,結合圖形的變換,分別得出數(shù)列和的遞推關系式,結合等比數(shù)列的通項公式,即可求解;
(2)根據(jù)圖象的變換規(guī)律,得出數(shù)列和的遞推關系式,結合疊加法和數(shù)列的極限,即可求解.
(1)由題意,可得數(shù)列的遞推關系式為且,
所以數(shù)列構成首項為,公比為4的等比數(shù)列,
所以其通項公式為,
又由每個圖形的邊長都相等,且長度變?yōu)樵瓉淼?/span>,
所以邊長滿足遞推關系式,
即數(shù)列構成首項為1,公比為的等比數(shù)列,
所以數(shù)列的圖通項公式為
(2)觀察發(fā)現(xiàn),第二個圖形在第一個圖形的周長的基礎上多了它的周長的,第三個圖形在第二個的周長的基礎上,多了周長的,第四個圖形在第三個的周長的基礎上,多了周長的,依次類推,
可得周長滿足遞推關系式且,
所以數(shù)列構成首項為3,公比為的等比數(shù)列,
所以數(shù)列的通項公式為,
由第一個三角形的面積,
當時,,
則
.
又由極限的運算法則,可得,所以周長的極限不存在;
,即面積的極限為.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)與函數(shù)在點處有共同的切線,求的值;
(2)證明:;
(3)若不等式對所有,都成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知, 表示兩條不同的直線, , , 表示三個不同的平面,給出下列四個命題:
①, , ,則;
②, , ,則;
③, , ,則;
④, , ,則
其中正確命題的序號為( )
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④
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【題目】設橢圓的離心率為,橢圓上一點到左右兩個焦點的距離之和是4.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知過的直線與橢圓交于兩點,且兩點與左右頂點不重合,若,求四邊形面積的最大值。
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【題目】已知正方形的邊長為,將沿對角線折起,使平面平面,得到如圖所示的三棱錐,若為邊的中點,分別為上的動點(不包括端點),且,設,則三棱錐的體積取得最大值時,三棱錐的內切球的半徑為_______.
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【題目】若對滿足條件3x+3y+8=2xy(x>0,y>0)的任意x、y,(x+y)2﹣a(x+y)+16≥0恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(﹣∞,8]B.[8,+∞)C.(﹣∞,10]D.[10,+∞)
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【題目】已知五邊形ABECD由一個直角梯形ABCD與一個等邊三角形BCE構成,如圖1所示,AB丄BC,AB//CD,且AB=2CD。將梯形ABCD沿著BC折起,如圖2所示,且AB丄平面BEC。
(1)求證:平面ABE丄平面ADE;
(2)若AB=BC,求二面角A-DE-B的余弦值.
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