Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c為實(shí)數(shù)，且a≠0），F(xiàn)（x）=

f(x)，x＞0 -f(x)，x＜0

（1）若f（-1）=0，曲線(xiàn)y=f（x）通過(guò)點(diǎn)（0，2a+3），且在點(diǎn)（-1，f（-1））處的切線(xiàn)垂直于y軸，求f（x）的表達(dá)式；
（2）在（Ⅰ）在條件下，當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，g（x）=kx-f（x）是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）設(shè)mn＜0，m+n＞0，a＞0，且f（x）為偶函數(shù)，證明F（m）+F（n）＞0．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=ax²+bx+c，知f'（x）=2ax+b．由曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（-1，f（-1））處的切線(xiàn)垂直于y軸，推導(dǎo)出b=2a，由f（-1）=0，知b=a+c．由曲線(xiàn)y=f（x）通過(guò)點(diǎn)（0，2a+3），知c=2a+3，由此能求出f（x）的表達(dá)式．
（2）由f（x）=-3x²-6x-3，知g（x）=kx-f（x）=3x²+（k+6）x+3．由g（x）在[-1，1]上是單調(diào)函數(shù)，能求出k的取值范圍．
（3）由f（x）是偶函數(shù)，知f（x）=ax²+c．由mn＜0，m+n＞0，知m，n異號(hào)．由此能證明F（m）+F（n）＞0．

解答：解：（1）因?yàn)閒（x）=ax²+bx+c，所以f'（x）=2ax+b．
又曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（-1，f（-1））處的切線(xiàn)垂直于y軸，故f'（-1）=0，
即-2a+b=0，因此b=2a．①
因?yàn)閒（-1）=0，所以b=a+c．②
又因?yàn)榍�線(xiàn)y=f（x）通過(guò)點(diǎn)（0，2a+3），
所以c=2a+3．③
解由①，②，③組成的方程組，得a=-3，b=-6，c=-3．
從而f（x）=-3x²-6x-3．…（4分）
（2）由（Ⅰ）知f（x）=-3x²-6x-3，
所以g（x）=kx-f（x）=3x²+（k+6）x+3．
由g（x）在[-1，1]上是單調(diào)函數(shù)知：-

k+6

6

≤-1或-

k+6

6

≥1，
得 k≤-12或k≥0．…（9分）
（3）因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，可知b=0．
因此f（x）=ax²+c．…（10分）
又因?yàn)閙n＜0，m+n＞0，
可知m，n異號(hào)．
若m＞0，則n＜0．
則F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=am²+c-an²-c=a（m+n）（m-n）＞0．…（12分）
若m＜0，則n＞0．
同理可得F（m）+F（n）＞0．
綜上可知F（m）+F（n）＞0．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查不等式的證明．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．