Question

已知函數(shù)h(x)=

x2-4x+m

x-2

(x∈R，且x＞2），函數(shù)y=t（x）的圖象經(jīng)過點（4，3），且y=t（x）與y=h（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，將函數(shù)y=h（x）的圖象向左平移2個單位后得到函數(shù)y=f（x）的圖象．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若g(x)=f(x)+

a

x

，g(x)在區(qū)間（0，3]上的值不小于8，求實數(shù)a的取值范圍．
（III）若函數(shù)f（x）滿足：對任意的x₁，x₂∈（a，b）（其中x₁≠x₂），有

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)，稱函數(shù)f（x）在（a，b）的圖象是“下凸的”．判斷此題中的函數(shù)f（x）圖象在（0，+∞）是否是“下凸的”？如果是，給出證明；如果不是，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，h（x）的圖象經(jīng)過（3，4），代入可得m的值，從而可求h（x）、f（x）的解析式；
（Ⅱ）由已知有x+

3+a

x

≥8，分離參數(shù)，利用求函數(shù)最值的方法，可得實數(shù)a的取值范圍；
（III）利用新定義，作差，證明其差小于0，即可判斷．

解答：解：（Ⅰ）由題意，h（x）的圖象經(jīng)過（3，4），代入可得4=

9-12+m

3-2

，解得m=7
∴h(x)=

x2-4x+7

x-2

，∴f（x）=h（x+2）=x+

3

x

；（3分）
（Ⅱ）∵g(x)=x+

3+a

x

，
∴由已知有x+

3+a

x

≥8有a≥-x²+8x-3，（6分）
令t（x）=-x²+8x-3，則t（x）=-（x-4）²+13，于是t（x）在（0，3）上是增函數(shù)．
∴t（x）_max=12．
∴a≥12．                                                              （8分）
（III）f(x)=x+

3

x

的圖象在（0，+∞）是“下凸的”．                            （9分）
∵f(

x1+x2

2

)-

f(x1)+f(x2)

2

=(

x1+x2

2

+

3

x1+x2 2

)-

x1+ 3 x1 +x2+ 3 x2

2

=

(x1+x2)2+12-(x1+x2)(x1+ 3 x1 +x2+ 3 x2 )

2(x1+x2)

=

12- 3(x1+x2)2 x1x2

2(x1+x2)

＜

12- 3(2 x1x2 )2 x1x2

2(x1+x2)

=0
∴

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)
∴f(x)=x+

3

x

的圖象在（0，+∞）是“下凸的”．                               （12分）

點評：本題考查函數(shù)解析式的確定，考查恒成立問題，考查分離參數(shù)法的運用，考查新定義，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．