Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）討論的單調(diào)性；

（Ⅲ）若對(duì)任意的，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）

【解析】

（I）先求得函數(shù)的定義域. 當(dāng)時(shí)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得函數(shù)的極值.（II）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，通分和因式分解后，對(duì)分成等類，討論函數(shù)的單調(diào)性.（III）由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，由此求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.由此求得的最大值，將原不等式化為左邊大于這個(gè)最大值來求得實(shí)數(shù)的取值范圍.

（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，

，.

令，則，令，則

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)在處取得極小值，極小值為，無極大值

（Ⅱ）.

當(dāng)時(shí)，，

令，則，令，則

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，

令，得.

②當(dāng)時(shí)，則，

令，則，令，則

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

③當(dāng)時(shí)，，，

函數(shù)在定義域單調(diào)遞減；

④當(dāng)

令.則；令，則或.

所以在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增

⑤當(dāng)時(shí)，，

令，則，令，則或.

所以在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增

（III）由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，，，

問題等價(jià)于：對(duì)任意的，

恒有成立，

即，因?yàn)?/span>，對(duì)任意的恒成立

又，

所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是