Question

設(shè)函數(shù)f（x）=．
（1）化簡f（x）的表達(dá)式，求f（x）的定義域，并求出f（x）的最大值和最小值；
（2）若銳角α滿足cosα=，求f（α）的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數(shù)解析式的分子利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，分母利用誘導(dǎo)公式化簡，約分化簡后得到最簡的表達(dá)式，根據(jù)原解析式的分母不為0，得到cosx不為0，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到x的范圍，即為函數(shù)的定義域，同時把化簡后的解析式提取2后，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可求出函數(shù)的最大值和最小值；
（2）由α為銳角，根據(jù)cosα的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinα的值，將sinα和cosα的值代入化簡后的解析式中即可求出f（α）的值．
解答：解：（1）函數(shù)f（x）=
=
=2sinx+2cosx …（5分）
f（x）的定義域為{x|x≠kπ+，k∈Z}，…（6分）
又f（x）=2sin（x+），…（7分）
f（x）_max=2，f（x）_min=-2；…（9分）
（2）若銳角α滿足cosα=，則sinα=，…（10分）
則f（α）=2sinα+2cosα=．…（12分）
點評：此題考查了三角函數(shù)的化簡求值，涉及的知識有：兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及特殊角的三角函數(shù)值，以及正弦、余弦函數(shù)的定義域及值域，熟練掌握公式及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．