Question

設(shè)函數(shù).
（1）當(dāng)（為自然對數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求的最小值；
（2）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（3）若對任意恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

（1）2；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；（3）.

解析試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，，易得函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/6d/5/fmjxg3.png" style="vertical-align:middle;" />，求出導(dǎo)函數(shù)，利用判定函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，并求出的極小值；
（2）由函數(shù)，令，得，
設(shè)，由求出函數(shù)的單調(diào)性以及極值，并且求出函數(shù)在的零點(diǎn)，畫出的大致圖像，并從圖像中，可以得知，當(dāng)在不同范圍的時(shí)候，函數(shù)和函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)
（3）對任意恒成立，等價(jià)于恒成立，則在上單調(diào)遞減，即在恒成立，
求出的取值范圍.
試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，
易得函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/6d/5/fmjxg3.png" style="vertical-align:middle;" />

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上是減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上是增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，取得極小值
(2)函數(shù)
令，得
設(shè)

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上式增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上式增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，取極大值
令，即，解得