Question

已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1公差為正的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，設(shè)C_n=a_nb_n（n∈N^*），且數(shù)列{c_n}的前三項(xiàng)依次為1，4，12，
（1）求數(shù)列a_n．b_n的通項(xiàng)公式；
（2）若等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求數(shù)列{

Sn

n

}的前項(xiàng)的和T_n．

Answer 1

分析：（1）分別設(shè)出等差數(shù)列的公比為d，等比數(shù)列的公比為q，由數(shù)列{c_n}的前三項(xiàng)依次為1，4，12，根據(jù)等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)，根據(jù)d大于0，把兩數(shù)列的首項(xiàng)代入即可求出d與q的值，進(jìn)而寫出等差及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；
（2）由（1）求出的d與首項(xiàng)的值，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出S_n，然后等號(hào)兩邊都除以n，得到數(shù)列{

Sn

n

}是首項(xiàng)是a₁=1，公差為

d

2

=

1

2

的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，由首項(xiàng)a₁和d的值即可表示出T．

解答：解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，數(shù)列{b_n}的公比為q，
則由題意知

a1b1=1 (a1+d)(b1q) =4 (a1+2d)(b1q2) =12

，
因?yàn)閿?shù)列{a_n}各項(xiàng)為正數(shù)，所以d＞0，
所以把a(bǔ)=1，b=1代入方程組解得

d=1 q=2

，
則a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）=n，b_n=b₁q^n-1=2^n-1；
（2）由（1）知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=na₁+

n(n-1)

2

d，
所以

Sn

n

=a₁+（n-1）

d

2

，
所以數(shù)列{

Sn

n

}是首項(xiàng)是a₁=1，公差為

d

2

=

1

2

的等差數(shù)列，
所以T=na+

n(n-1)

2

•

d

2

=n+

n(n-1)

4

=

n2+3n

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等差數(shù)列的確定方法．要求學(xué)生熟練掌握等差及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．