【題目】如圖,在等腰梯形ABCD中,AB=2,CD=4,BC= ,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為AD,BC的中點(diǎn).如果對(duì)于常數(shù)λ,在ABCD的四條邊上,有且只有8個(gè)不同的點(diǎn)P使得 =λ成立,那么實(shí)數(shù)λ的取值范圍為 .
【答案】(﹣ ,﹣ )
【解析】解:以DC所在直線為x軸,DC的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,
則梯形的高為 =2,∴A(﹣1,2),B(1,2),C(2,0),D(﹣2,0),∴E(﹣ ,1),F(xiàn)( ,1).
①當(dāng)P在DC上時(shí),設(shè)P(x,0)(﹣2≤x≤2),則 =(﹣ ﹣x,1) =( ,1).
于是 =(﹣ ﹣x)( ﹣x)+1=x2﹣ =λ,
∴當(dāng)λ=﹣ 時(shí),方程有一解,當(dāng)﹣ <λ≤ 時(shí),λ有兩解;
②當(dāng)P在AB上時(shí),設(shè)P(x,2)(﹣1≤x≤1),則 =(﹣ ﹣x,﹣1) =( ,﹣1).
于是 =(﹣ ﹣x)( ﹣x)+1=x2﹣ =λ,
∴當(dāng)λ=﹣ 時(shí),方程有一解,當(dāng)﹣ <λ≤﹣ 時(shí),λ有兩解;
③當(dāng)P在AD上時(shí),直線AD方程為y=2x+4,
設(shè)P(x,2x+4)(﹣2<x<﹣1),則 =(﹣ ﹣x,﹣2x﹣3) =( ,﹣2x﹣3).
于是 =(﹣ ﹣x)( ﹣x)+(﹣2x﹣3)2=5x2+12x+ =λ.
∴當(dāng)λ=﹣ 或﹣ <λ< 時(shí),方程有一解,當(dāng)﹣ ﹣ 時(shí),方程有兩解;
④當(dāng)P在BC上時(shí),直線BC的方程為y=﹣2x+4,
設(shè)P(x,﹣2x+4)(1<x<2),則 =(﹣ ﹣x,2x﹣3) =( ,2x﹣3).
于是 =(﹣ ﹣x)( ﹣x)+(2x﹣3)2=5x2﹣12x+ =λ.
∴當(dāng)λ=﹣ 或﹣ <λ< 時(shí),方程有一解,當(dāng)﹣ ﹣ 時(shí),方程有兩解;
綜上,若使梯形上有8個(gè)不同的點(diǎn)P滿足 =λ成立,
則λ的取值范圍是(﹣ , ]∩(﹣ ,﹣ ]∩(﹣ ,﹣ )∩(﹣ ,﹣ )=(﹣ ,﹣ ).
所以答案是:(﹣ ,﹣ ).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法正確的是 ( )
A. “x<1”是“l(fā)og2(x+1)<1”的充分不必要條件
B. 命題“x>0,2x>1”的否定是“x0≤0,≤1”
C. 命題“若a≤b,則ac2≤bc2”的逆命題是真命題
D. 命題“若a+b≠5,則a≠2或b≠3”的逆否命題為真命題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲,乙兩人進(jìn)行圍棋比賽,共比賽2n(n∈N+)局,根據(jù)以往比賽勝負(fù)的情況知道,每局甲勝的概率和乙勝的概率均為 .如果某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人,則此人贏得比賽.記甲贏得比賽的概率為P(n).
(1)求P(2)與P(3)的值;
(2)試比較P(n)與P(n+1)的大小,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an},{bn}均為各項(xiàng)都不相等的數(shù)列,Sn為{an}的前n項(xiàng)和,an+1bn=Sn+1(n∈N).
(1)若a1=1,bn= ,求a4的值;
(2)若{an}是公比為q的等比數(shù)列,求證:存在實(shí)數(shù)λ,使得{bn+λ}為等比數(shù)列;
(3)若{an}的各項(xiàng)都不為零,{bn}是公差為d的等差數(shù)列,求證:a2 , a3 , …,an…成等差數(shù)列的充要條件是d= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲,乙兩人進(jìn)行圍棋比賽,共比賽2n(n∈N+)局,根據(jù)以往比賽勝負(fù)的情況知道,每局甲勝的概率和乙勝的概率均為 .如果某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人,則此人贏得比賽.記甲贏得比賽的概率為P(n).
(1)求P(2)與P(3)的值;
(2)試比較P(n)與P(n+1)的大小,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為評(píng)估設(shè)備生產(chǎn)某種零件的性能,從設(shè)備生產(chǎn)零件的流水線上隨機(jī)抽取100件零件作為樣本,測(cè)量其直徑后,整理得到下表:
直徑mm | 58 | 59 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 73 | 合計(jì) |
件數(shù) | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 33 | 18 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 | 100 |
經(jīng)計(jì)算,樣本的平均值,標(biāo)準(zhǔn)差,以頻率值作為概率的估計(jì)值.
(1)為評(píng)判一臺(tái)設(shè)備的性能,從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件,記其直徑為,并根據(jù)以下不等式進(jìn)
行評(píng)判(表示相應(yīng)事件的概率);①;②;③.
評(píng)判規(guī)則為:若同時(shí)滿足上述三個(gè)不等式,則設(shè)備等級(jí)為甲;僅滿足其中兩個(gè),則等級(jí)為乙;若僅滿足其中一個(gè),則等級(jí)為丙;若全部不滿足,則等級(jí)為丁,試判斷設(shè)備的性能等級(jí).
(2)將直徑小于等于或直徑大于的零件認(rèn)為是次品.
(ⅰ)從設(shè)備的生產(chǎn)流水線上隨意抽取2件零件,計(jì)算其中次品個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望;
(ⅱ)從樣本中隨意抽取2件零件,計(jì)算其中次品個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在等腰梯形ABCD中,AB=2,CD=4,BC= ,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為AD,BC的中點(diǎn).如果對(duì)于常數(shù)λ,在ABCD的四條邊上,有且只有8個(gè)不同的點(diǎn)P使得 =λ成立,那么實(shí)數(shù)λ的取值范圍為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,底面是邊長(zhǎng)為3的正方形,平面,,,與平面所成的角為.
(1)求證:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,3sin2C+8sin2A=11sinAsinC,且c<2a.
(1)求證:△ABC為等腰三角形
(2)若△ABC的面積為8 .且sinB= ,求BC邊上的中線長(zhǎng).
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