Question

已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線l：mx-y+1-m=0，
（1）求證對(duì)m∈R，直線l和圓C總相交；
（2）設(shè)直線l和圓C交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)|AB|取得最大值時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式求得圓心C到直線l的距離小于半徑，從而證明直線l和圓C總相交．
解法二：利用直線l：mx-y+1-m=0恒過(guò)過(guò)定點(diǎn)P（1，1），可判明在圓內(nèi)，即可證明直線l和圓C總相交．
（2）根據(jù)當(dāng)圓心到直線的距離d最小時(shí)，弦長(zhǎng)|AB|最大，而m=0時(shí)d最小，從而得到直線l的方程．

解答：證明：（1）因圓C的圓心為C（0，1），半徑r=

5

，
所以圓心C到直線l的距離為d=

|m|

1+m2

＜

|m|

|m|

=1，故直線l和圓C總相交，命題得證．
解法二：直線l：mx-y+1-m=0恒過(guò)過(guò)定點(diǎn)P（1，1），可判明在圓內(nèi)，即可證明直線l和圓C總相交．
（2）當(dāng)d最小時(shí)，|AB|最大，而m=0時(shí)d最小，此時(shí)l過(guò)圓心（1，1），
直線l：mx-y+1-m=0 即 y=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題以及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．