Question

（2012•浙江）如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，其左焦點到點P（2，1）的距離為

10

，不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求△APB面積取最大值時直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，根據(jù)離心率為

1

2

，其左焦點到點P（2，1）的距離為

10

，建立方程，即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點為M，當AB⊥x軸時，直線AB的方程為x=0，與不過原點的條件不符，故設AB的方程為y=kx+m（m≠0）由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，消元再利用韋達定理求得線段AB的中點M，根據(jù)M在直線OP上，可求|AB|，P到直線AB的距離，即可求得△APB面積，從而問題得解．

解答：解：（Ⅰ）由題意

(2+c)2+1 = 10 c a = 1 2

，解得：

c=1 a=2

．
∴所求橢圓C的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點為M
當AB⊥x軸時，直線AB的方程為x=0，與不過原點的條件不符，故設AB的方程為y=kx+m（m≠0）
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，消元可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0①
∴x1+x2=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

∴線段AB的中點M( -

4km

3+4k2

，

3m

3+4k2

)
∵M在直線OP上，∴-

2km

3+4k2

=

3m

3+4k2

∴k=-

3

2

故①變?yōu)?x²-3mx+m²-3=0，又直線與橢圓相交，
∴△＞0，x₁+x₂=m，x1x2=

m2-3

3

∴|AB|=

39

6

×

12-m2

P到直線AB的距離d=

2|m-4|

13

∴△APB面積S=

1

2

|AB|d=

3

6

×

(m-4)2(12-m2)

（m∈（-2

3

，0）∪(0，2

3

)
令u（m）=（12-m²）（m-4）²，則u′(m)=-4(m-4)(m-1-

7

)(m-1+

7

)
∴m=1-

7

，u（m）取到最大值
∴m=1-

7

時，S取到最大值
綜上，所求直線的方程為：3x+2y+2

7

-2=0

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查導數(shù)知識的運用，屬于中檔題．