(08年岳陽(yáng)一中二模文)(13分) 如圖,在底面是菱形的四棱錐P―ABCD中,∠ABC=600,PA=AC=a,PB=PD=,點(diǎn)E
在PD上,且PE:ED=2:1。
(1)證明PA⊥平面ABCD;
(2)求以AC為棱,EAC與DAC為面的二面角的大;
(3)在棱PC上是否存在一點(diǎn)F,使BF//平面AEC?證明你的結(jié)論。
解析:證明: (Ⅰ) 因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,∠ABC=60°,
所以AB=AD=AC=a, 在△PAB中,
由PA2+AB2=2a2=PB2 知PA⊥AB.
同理,PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD…………3分
(Ⅱ)解 作EG//PA交AD于G,
由PA⊥平面ABCD.
知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H,連結(jié)EH,則EH⊥AC,∠EHG即為二面角的平面角.
又PE : ED=2 : 1,所以
從而 ……………7分
(Ⅲ)解法一 以A為坐標(biāo)原點(diǎn),直線AD、AP分別為y軸、z軸,過(guò)A點(diǎn)垂直平面PAD的直線為x軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖.由題設(shè)條件,相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
所以
設(shè)點(diǎn)F是棱PC上的點(diǎn),則
令 得
解得 即 時(shí),
亦即,F(xiàn)是PC的中點(diǎn)時(shí),、、共面.
又 BF平面AEC,所以當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時(shí),BF//平面AEC
解法二 當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時(shí),BF//平面AEC,證明如下,
證法一 取PE的中點(diǎn)M,連結(jié)FM,則FM//CE. ①
由 知E是MD的中點(diǎn).
連結(jié)BM、BD,設(shè)BDAC=O,則O為BD的中點(diǎn).
所以 BM//OE. ②
由①、②知,平面BFM//平面AEC.
又 BF平面BFM,所以BF//平面AEC.
證法二因?yàn)?nbsp;
所以 、、共面.
又 BF平面ABC,從而B(niǎo)F//平面AEC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(08年岳陽(yáng)一中二模理)(12分) 一個(gè)盒子中裝有6張卡片,上面分別寫著如下6個(gè)定義域均為R的函數(shù):
.
(1)現(xiàn)從盒子中任取兩張卡片,將卡片上的函數(shù)相加得到一個(gè)新函數(shù),求所得函數(shù)
為奇函數(shù)的概率;
(2)現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一張記有偶函數(shù)的卡片則停止抽取,否則繼續(xù)進(jìn)行。求抽取次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(08年岳陽(yáng)一中二模理)(12分) 已知梯形中,∥,,, 、分別是、上的點(diǎn),∥,,是的中點(diǎn),沿將 梯形翻折,使平面平面(如圖)。
(1)當(dāng)時(shí),求證:;
(2)若以F、B、C、D為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為,求的最大值;當(dāng)取得最大值時(shí),求二面角D-BF-C的大小。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(08年岳陽(yáng)一中二模理)(13分) 對(duì)于函數(shù),若存在,使成立,則稱為的不動(dòng)點(diǎn)。如果函數(shù)有且僅有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)、,且。
(1)試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列滿足,求證:;
(3)設(shè),為數(shù)列的前項(xiàng)和,求證:。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(08年岳陽(yáng)一中二模文)(12分)
有A、B、C、D、E五支足球隊(duì)參加某足球邀請(qǐng)賽,比賽采用單循環(huán)制,每場(chǎng)比賽勝隊(duì)得3分,負(fù)隊(duì)得0分;若為平局則雙方各得1分。已知任何一個(gè)隊(duì)打勝、打平或被打敗的概率都是。
(1) 求打完全部比賽A隊(duì)取得3分的概率;
(2) 求打完全部比賽A隊(duì)勝的次數(shù)多于負(fù)的次數(shù)的概率。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(08年岳陽(yáng)一中二模文)(12分)
設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù),且對(duì)任意,都有,記為數(shù)列的前項(xiàng)和。
(1) 求證:;
(2) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3) 若(為非零常數(shù),),問(wèn)是否存在整數(shù),使得對(duì)任意,都有。
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