Question

（福建卷文20）已知｛a_n｝是正數(shù)組成的數(shù)列，a₁=1，且點（）（nN*）在函數(shù)y=x²+1的圖象上.

(Ⅰ)求數(shù)列｛a_n｝的通項公式；

(Ⅱ)若列數(shù)｛b_n｝滿足b₁=1,b_n+1=b_n+，求證：b_n       ·b_n+2＜b²_n+1.

Answer 1

本小題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基本知識，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，推理與運算能力.

解法一：

（Ⅰ）由已知得a_n+1=a_n+1、即a_n+1-a_n=1，又a₁=1,

所以數(shù)列｛a_n｝是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列.

故a_n=1+(a-1)×1=n.

(Ⅱ)由（Ⅰ）知：a_n=n從而b_n+1-b_n=2ⁿ.

b_n=(b_n-b_n-1)+(b_n-1-b_n-2)+­­­­­­­­­­­···+（b₂-b₁）+b₁

=2^n-1+2^n-2+···+2+1＝=2ⁿ-1.

因為b_n·b_n+2-b=(2ⁿ-1)(2ⁿ⁺²-1)-(2^n-1-1)²

=(2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²-2ⁿ+1)-(2^2n+2-2-2n+1-1)

=-5·2ⁿ+4·2ⁿ

=-2ⁿ＜0,

所以b_n·b_n+2＜b,

解法二：（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）因為b₂=1,

b_n·b_n+2- b=(b_n+1-2ⁿ)(b_n+1+2ⁿ⁺¹)- b

            =2ⁿ⁺¹·b_n-1-2ⁿ·b_n+1-2ⁿ·2ⁿ⁺¹

＝2ⁿ（b_n+1-2ⁿ⁺¹）

=2ⁿ（b_n+2ⁿ-2ⁿ⁺¹）

=2ⁿ（b_n-2ⁿ）

=…

=2ⁿ（b₁-2）

=-2ⁿ〈0，

所以b_n-b_n+2<b²_n+1