如圖為函數(shù)f（x）=
x
（0＜x＜1）的圖象，其在點(diǎn)M（t，f（t））處的切線為l，l與y軸和直線y=1分別交于點(diǎn)P、Q，點(diǎn)N（0，1），若△PQN的面積為b時(shí)的點(diǎn)M恰好有兩個(gè)，則b的取值范圍為______．
對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，f′(x)=
1
2
x

由題意可得M（t，
t
），切線的斜率k=f′(t)=
1
2
t

過點(diǎn)M的切線方程為y-
t
=
1
2
t
(x-t)
則可得P(0，
t
2
)N(0，1)Q(2
t
-t，1)
S△PNQ=
1
2
PN•NQ=
1
2
(2
t
-t)(1-
t
2
)l=
t
-t+
t
t
4
l
令g（t）=
t
-t+
t
t
4
（0＜t＜1）
g′(t)=
3
8
t
+
1
2
t
-1=
3t-8
t
+4
8
t
=
(3
t
-2)(
t
-2)
8
t

函數(shù)g（t）在（0，
4
，9
）單調(diào)遞增，在[
4
9
，1)單調(diào)遞減
由于g(1)=
1
4
，g(
4
9
)=
8
27

△PQN的面積為b時(shí)的點(diǎn)M恰好有兩個(gè)即g（t）在（0，1）上與y=b有兩個(gè)交點(diǎn)
，根據(jù)函數(shù)的圖象可知
1
4
＜b＜
8
27


故答案為：(
1
4
，
8
27
)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x3+ax2+（a-2）x的導(dǎo)函數(shù)是f′（x）是偶函數(shù)，則曲線y=f（x）在原點(diǎn)處的切線方程為（　�。�
A．y=-3xB．y=-2xC．y=3xD．y=2x

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
a+1
2
x2+bx+a（a，b∈R），且其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象過原點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的圖象在x=3處的切線方程；
（Ⅱ）若存在x＜0，使得f′（x）=-9，求a的最大值；
（Ⅲ）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)定函數(shù)f（x）=
a
3
x3+bx2+cx+d（a＞0），且方程f′（x）-9x=0的兩個(gè)根分別為1，4．
（Ⅰ）當(dāng)a=3且曲線y=f（x）過原點(diǎn)時(shí)，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，+∞）無(wú)極值點(diǎn)，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

曲線f（x）=xlnx在x=e處的切線方程為（　�。�
A．y=xB．y=x-eC．y=2x+eD．y=2x-e

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=
1
3
x3-ax2+（a2-1）x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若x=1為f（x）的極值點(diǎn)，求a的值；
（Ⅱ）若y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+y-3=0，求f（x）在區(qū)間[-2，4]上的最大值；
（Ⅲ）當(dāng)a≠0時(shí)，若f（x）在區(qū)間（-1，1）上不單調(diào)，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知曲線y=3x2+2x在點(diǎn)（1，5）處的切線與直線2ax-y-6=0平行，則a=______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=x-1+
a
她x
（a∈R，她為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅲ）當(dāng)a=1的值時(shí)，若直線l：y=kx-1與曲線y=f（x）沒有公共點(diǎn)，求k的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=（x2-ax-a）ex．
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[-2，2]上的最小值．

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