Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，以M（-1，0）為圓心的圓與直線x-y-3=0相切．
（1）求圓M的方程；
（2）如果圓周上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線mx+y+1=0對(duì)稱，求m的值；
（3）已知A（-2，0），B（2，0），圓肘內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|•|PB|=|PO|²，求•的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由直線與圓相切，得到圓心到切線的距離d等于半徑r，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心M到已知直線的距離d，即為圓M的半徑，寫出圓M方程即可；
（2）由圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線mx+y+1=0對(duì)稱，得到直線mx+y+1=0過圓心，將M坐標(biāo)代入直線中，即可求出mm的值；
（3）設(shè)P（x，y），利用兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)已知的等式，整理后得到x與y的關(guān)系式，再表示出兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算所求的式子，將表示出的關(guān)系式代入得到關(guān)于y的式子，由P在圓M內(nèi)部，得到P與圓心M的距離小于半徑列出不等式，即可求出所求式子的范圍．
解答：解：（1）依題意，圓心M（-l，0）到直線x-y-3=0的距離d=r，
∴d==2=r，
則圓M的方程為（x+1）²+y²=4；
（2）圓M上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線mx+y+1=0對(duì)稱，
∴直線mx+y+1=0必過圓心M（-1，0），
將M坐標(biāo)代入mx+y+1=0得：-m+1=0，
解得：m=1；
（3）設(shè)P（x，y），
由|PA|•|PB|=|P0|²得：•=x²+y²，
整理得：x²-y²=2，
∵A（-2，0），B（2，0），
∴=（-2-x，-y），=（2-x，-y），
∴•=x²-4+y²=2（y²-1），
點(diǎn)P在圓M內(nèi)，（x+1）²+y²＜4，可得0≤y²＜4，
∴-2≤2（y²-1）＜6，
則•的取值范圍為[-2，6）．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及的知識(shí)有：點(diǎn)到直線的距離公式，兩點(diǎn)間的距離公式，對(duì)稱的性質(zhì)，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，以及點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．