Question

在區(qū)間[1，4]上任取實數(shù)a，在區(qū)間[0，3]上任取實數(shù)b，使函數(shù)f（x）=ax²+x+b有兩個相異零點的概率是

 

．

Answer 1

分析：設(shè)所求的事件為A，由方程ax²+x+b=0有兩個相異根，即△=1-4ab＞0求出ab范圍，判斷出是一個幾何概型后，在坐標系中畫出所有的實驗結(jié)果和事件A構(gòu)成的區(qū)域，再用定積分求出事件A構(gòu)成的區(qū)域的面積，代入幾何概型的概率公式求解．

解答：解：設(shè)事件A={使函數(shù)f（x）=ax²+x+b有兩個相異零點}，
方程ax²+x+b=0有兩個相異根，即△=1-4ab＞0，解得ab＜

1

4

，
∵在[1，4]上任取實數(shù)a，在[0，3]上任取實數(shù)b，
∴這是一個幾何概型，所有的實驗結(jié)果Ω={（a，b）|1≤a≤4且 0≤b≤3}；
事件A={（a，b）|ab＜

1

4

，1≤a≤4且 0≤b≤3}，在坐標系中畫出圖形：
則圖中陰影部分是事件A構(gòu)成的區(qū)域，則它的面積S=

∫

4 1

1

4a

da=

1

4

lna|₁⁴=

1

2

ln2，
∴事件A的概率P（A）=

1 2 ln2

9

=

ln2

18

．
故答案為：

ln2

18

．

點評：本題考查了幾何概型下事件的概率的求法，用一元二次方程根的個數(shù)求出ab的范圍，用定積分求不規(guī)則圖形的面積，考查了學生綜合運用知識的能力．