設(shè)點P(x,y)(x≥0)為平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個動點(其中O為坐標(biāo)原點),點P到定點M(1,0)的距離比點P到直線x=-2的距離小1,過點M的直線l與點P的軌跡方程交于A、B兩點.
(Ⅰ)求點P的軌跡方程;
(Ⅱ)是否存在直線l,使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點?若存在,請求出直線l的方程,若不存在,請說明理由.
(III)求證:S△OAB=S△OAM•|BM|.
分析:(I)利用拋物線的定義,即可得到點P的軌跡方程;
(Ⅱ)分類討論,設(shè)出直線方程,代入拋物線方程,驗證
OA
OB
=0是否成立即可;
(III)S△OAB=
1
2
•|OM|•|y1-y2|
,S△OAM•|BM|=
1
2
•|OM|•|y1|•(x2+1)
,化簡可結(jié)論.
解答:(Ⅰ)解:∵點P到定點M(1,0)的距離比點P(x,y)(x≥0)到直線x=-2的距離小1,
∴由拋物線的定義,可得點P的軌跡方程為y2=4x;
(Ⅱ)解:當(dāng)直線l的斜率不存在時,由題設(shè)可知直線l的方程是x=1,與拋物線方程聯(lián)立,可得A(1,2),B(1,-2),不滿足
OA
OB
=0;
當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),代入拋物線方程,可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
∴x1+x2=
2k2+4
k2
,x1x2=1
∴y1y2=-4,∴x1x2+y1y2=-3≠0,不滿足
OA
OB
=0
∴不存在直線l,使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點;
(III)證明:∵S△OAB=
1
2
•|OM|•|y1-y2|
=
1
2
|y1-y2|
=
|k(x1-x2)|
2

S△OAM•|BM|=
1
2
•|OM|•|y1|•(x2+1)
=
1
2
•|k(x1-1)|•(x2+1)
=
|k(x1x2+x1-x2-1)|
2
|k(x1-x2)|
2

∴S△OAB=S△OAM•|BM|.
點評:本題考查拋物線的定義,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查三角形面積的計算,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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設(shè)點P(x,y)(x≥0)為平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個動點(其中O為坐標(biāo)原點),點P到定點M(
1
2
,0)的距離比點P到x軸的距離大
1
2

(1)求點P的軌跡方程,并說明它表示什么曲線;
(2)若直線l與點P的軌跡相交于A、B兩點,且
OA
OB
=0,點O到直線l的距離為
2
,求直線l的方程.

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設(shè)點P(x,y)(y≥0)為平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個動點(其中O為坐標(biāo)原點),點P到定點M(0,
1
2
)的距離比點P到x軸的距離大
1
2

(1)求點P的軌跡方程;
(2)若直線l:y=x+1與點P的軌跡相交于A、B兩點,求線段AB的長;
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(1)求點P的軌跡方程,并說明它表示什么曲線;
(2)若直線l與點P的軌跡相交于A、B兩點,且=0,點O到直線l的距離為,求直線l的方程.

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設(shè)點P(x,y)(x≥0)為平面直角坐標(biāo)系xOy中的一個動點(其中O為坐標(biāo)原點),點P到定點M(,0)的距離比點P到x軸的距離大
(1)求點P的軌跡方程,并說明它表示什么曲線;
(2)若直線l與點P的軌跡相交于A、B兩點,且=0,點O到直線l的距離為,求直線l的方程.

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