【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(2)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).
【答案】(1)函數(shù)的增區(qū)間是,減區(qū)間是;(2)有一個(gè)交點(diǎn).
【解析】分析:(1)求出,在定義域內(nèi),分別令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間,求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;(2)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,通過(guò)求導(dǎo),得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間,求出的極小值,利用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想可求出的函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即和的交點(diǎn)個(gè)數(shù).
詳解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,
當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增。
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.
(2)令
問(wèn)題等價(jià)于求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),
當(dāng)時(shí),,有唯一零點(diǎn).
當(dāng),
當(dāng)時(shí),,函數(shù)為減函數(shù),
注意到
所以有唯一零點(diǎn);
當(dāng)時(shí),或時(shí)時(shí)
所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
注意到
所以有唯一零點(diǎn);
當(dāng)時(shí),函數(shù)在和上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
易得,所以,
而所以有唯一零點(diǎn);
綜上,函數(shù)有唯一零點(diǎn),即兩函數(shù)圖象總有一個(gè)交點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)上的點(diǎn)到它的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4,以橢圓C的短軸為直徑的圓O經(jīng)過(guò)兩個(gè)焦點(diǎn),A,B是橢圓C的長(zhǎng)軸端點(diǎn).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓O的方程;
(2)設(shè)P、Q分別是橢圓C和圓O上位于y軸兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn),若直線PQ與x平行,直線AP、BP與y軸的交點(diǎn)即為M、N,試證明∠MQN為直角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】變量X與Y相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);變量U與V相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1),r1表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù),r2表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù),則( )
A. r2<0<r1 B. 0<r2<r1 C. r2<r1<0 D. r2=r1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐PABC中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn),AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明MN∥平面PAB;
(Ⅱ)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某大學(xué)準(zhǔn)備在開學(xué)時(shí)舉行一次大學(xué)一年級(jí)學(xué)生座談會(huì),擬邀請(qǐng)20名來(lái)自本校機(jī)械工程學(xué)院、海洋學(xué)院、醫(yī)學(xué)院、經(jīng)濟(jì)學(xué)院的學(xué)生參加,各學(xué)院邀請(qǐng)的學(xué)生數(shù)如下表所示:
學(xué)院 | 機(jī)械工程學(xué)院 | 海洋學(xué)院 | 醫(yī)學(xué)院 | 經(jīng)濟(jì)學(xué)院 |
人數(shù) | 4 | 6 | 4 | 6 |
(Ⅰ)從這20名學(xué)生中隨機(jī)選出3名學(xué)生發(fā)言,求這3名學(xué)生中任意兩個(gè)均不屬于同一學(xué)院的概率;
(Ⅱ)從這20名學(xué)生中隨機(jī)選出3名學(xué)生發(fā)言,設(shè)來(lái)自醫(yī)學(xué)院的學(xué)生數(shù)為ξ,求隨機(jī)變量ξ的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=1,AD= ,P矩形內(nèi)的一點(diǎn),且AP= ,若 ,(λ,μ∈R),則λ+ μ的最大值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= .
(Ⅰ)若a=﹣1,證明:函數(shù)f(x)是(0,+∞)上的減函數(shù);
(Ⅱ)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線x﹣y=0平行,求a的值;
(Ⅲ)若x>0,證明: (其中e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某旅游為了解2015年國(guó)慶節(jié)期間參加某境外旅游線路的游客的人均購(gòu)物消費(fèi)情況,隨機(jī)對(duì)50人做了問(wèn)卷調(diào)查,得如下頻數(shù)分布表:
人均購(gòu)物消費(fèi)情況 | [0,2000] | (2000,4000] | (4000,6000] | (6000,8000] | (8000,10000] |
額數(shù) | 15 | 20 | 9 | 3 | 3 |
附:臨界值表參考公式:
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d.
(1)做出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖并估計(jì)次境外旅游線路游客的人均購(gòu)物的消費(fèi)平均值;
(2)在調(diào)查問(wèn)卷中有一項(xiàng)是“您會(huì)資助失學(xué)兒童的金額?”,調(diào)查情況如表,請(qǐng)補(bǔ)全如表,并說(shuō)明是否有95%以上的把握認(rèn)為資助數(shù)額多于或少于500元和自身購(gòu)物是否到4000元有關(guān)?
人均購(gòu)物消費(fèi)不超過(guò)4000元 | 人均購(gòu)物消費(fèi)超過(guò)4000元 | 合計(jì) | |
資助超過(guò)500元 | 30 | ||
資助不超過(guò)500元 | 6 | ||
合計(jì) |
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